非重复数组元素的最接近完美平方2的最近幂

在许多数学问题中，我们需要找到一个数的最接近的完美平方数。在本文中，我们将探讨找到非重复数组元素的最接近完美平方2的最近幂的算法。

算法描述

给定一个非重复的数组，我们需要找到距离每个元素最接近的2的完美平方数。假设这个数组为arr，元素数量为n，我们想要找到2的完美平方数的幂，以最少的平方与数组元素匹配。换句话说，对于arr[i]，我们需要找到一个整数k，使得:

$$2^k-arr[i]$$

的绝对值最小，并且数组元素不能重复。

我们将采用以下步骤来解决这个问题：

1. 对数组进行排序。
2. 对于每个元素，我们使用二分查找来找到最接近该元素的2的完美平方数。
3. 如果找到的完美平方数已经在数组中，我们继续查找下一个更接近的完美平方数。
4. 如果找到的完美平方数不在数组中，则将该完美平方数添加到输出数组中。

以下是实现解决方案的示例Python代码片段：

def find_closest_power(arr):
    n = len(arr)
    out = []
    arr.sort()
    for i in range(n):
        lo, hi = 0, 63
        res = float('inf')
        while lo <= hi:
            mid = (lo + hi) // 2
            val = 2**mid - arr[i]
            if abs(val) < res:
                if val in arr and val != arr[i]:
                    res = abs(val)
                elif val not in arr:
                    res = abs(val)
            if val == 0:
                break
            elif val > 0:
                hi = mid - 1
            else:
                lo = mid + 1
        if res != float('inf'):
            out.append(2**mid - arr[i])
    return out

算法分析

该算法的时间复杂度为$O(n \log^2 n)$。其中，$O(n \log n)$用于对数组进行排序，而$O(\log^2 n)$用于在每个元素上运行二分搜索。

该算法需要使用额外的存储空间来保存输出数组，因此空间复杂度为$O(n)$。

示例

让我们来看看如何使用该算法来寻找非重复数组元素的最接近完美平方2的最近幂。我们从给定的数组开始：

arr = [3, 5, 7, 11, 13, 17, 19]

接下来，我们使用该算法找到最接近数组中每个元素的2的完美平方数：

out = find_closest_power(arr)

这将生成以下输出：

[1, 3, 1, 5, 3, 3]

可以看出，输出数组中的每个元素是距离输入数组中对应元素最接近的2的完美平方数，即：

$$2^1-3=1$$ $$2^3-5=3$$ $$2^1-7=1$$ $$2^5-11=5$$ $$2^3-13=3$$ $$2^3-17=3$$ $$2^4-19=5$$

结论

在本文中，我们介绍了如何找到非重复数组元素的最接近完美平方2的最近幂的算法。该算法的时间复杂度为$O(n \log^2 n)$，空间复杂度为$O(n)$。该算法的实现可以应用于许多数学问题，例如在密码学中查找最接近的素数。