构造一个接受语言 L = {w | 的 DFA w ∈ {a,b}* 和 Na(w) mod 3 = Nb (w) mod 3}

什么是 DFA？

DFA 全称为“Deterministic Finite Automaton”，即“确定性有限自动机”。它是一种计算模型，用于识别确定的输入语言，可以被抽象地认为是一种有限状态机。

DFA 是由一个有限状态集、一个输入字母表、一个状态转移函数和一个起始状态所组成的，每个状态可以对应于接受或拒绝特定的字符串。

L 是什么？

L 是一个语言，由一个或多个字符串组成。这些字符串要求满足一个特定的规则，这个规则被称为“产生式”。

在我们的例子中，L 是如下这个规则：

L = {w | 的 DFA w ∈ {a,b}* 和 Na(w) mod 3 = Nb (w) mod 3}

其中，“{a,b}*”表示由 a 和 b 任意组合成的字符串，Na(w) 是字符串 w 中 a 的个数，Nb(w) 是字符串 w 中 b 的个数，mod 表示求余数。

换句话说，L 中的字符串要求满足如下条件：

• 它只由 a 和 b 组成。
• 它包含的 a 和 b 的数量模 3 余数相等。

举个例子：

• “aaabbb” 符合 L 的要求，因为它包含的 a 和 b 的数量模 3 都是 0。
• “aab” 不符合 L 的要求，因为它包含的 a 和 b 的数量模 3 余数不相等。

如何构造一个能接受 L 的 DFA？

构造 DFA 的一般步骤如下：

1. 定义一个状态集合。
2. 确定 DFA 的起始状态。
3. 确定每个输入符号的转移函数。
4. 确定每个状态的终止标记。

具体实现时，我们可以使用如下伪代码：

# 定义状态集合
states = {'q0', 'q1', 'q2'}
# 定义起始状态
start_state = 'q0'
# 定义终止状态
accept_states = {'q0'}
# 定义转移函数
transitions = {
    ('q0', 'a'): 'q1',
    ('q0', 'b'): 'q2',
    ('q1', 'a'): 'q2',
    ('q1', 'b'): 'q0',
    ('q2', 'a'): 'q0',
    ('q2', 'b'): 'q1'
}
# 定义 DFA
dfa = DFA(states, start_state, accept_states, transitions)

其中，DFA 类表示一个 DFA，它的构造函数需要四个参数：状态集合、起始状态、终止状态、转移函数。

以上伪代码中定义了一个由 3 个状态（q0、q1 和 q2）组成的 DFA，起始状态为 q0，只有 q0 是终止状态。转移函数的定义如下：

• 从状态 q0 转移到 q1，输入符号为 a。
• 从状态 q0 转移到 q2，输入符号为 b。
• 从状态 q1 转移到 q2，输入符号为 a。
• 从状态 q1 转移到 q0，输入符号为 b。
• 从状态 q2 转移到 q0，输入符号为 a。
• 从状态 q2 转移到 q1，输入符号为 b。

这个 DFA 能识别的语言就是 L。

总结

本文介绍了如何构造一个能接受语言 L 的 DFA。在实际编程中，我们可以使用伪代码中的示例定义一个 DFA 对象，然后使用它来判断一个字符串是否属于 L。

注意，这个 DFA 对象只是一个示例，实际使用中可能需要根据实际情况来修改状态集合、起始状态、终止状态和转移函数。