程序找到系列3、5、33、35、53…的第N个项

这道题目可以用递归的方式进行求解。首先我们可以观察到这个数列的规律，每个数都是由前一个数得到的。当前一个数是3时，下一个数是5；当前一个数是5时，下一个数是33；当前一个数是33时，下一个数是35。根据这个规律，我们可以写出递归函数的基本结构。

递归实现

下面是用Python语言实现的递归代码。

def getNumber(n):
    if n == 1:
        return 3
    elif n == 2:
        return 5
    else:
        i = n - 2
        last = getNumber(i)
        if last == 3:
            return 5
        elif last == 5:
            return 33
        elif last == 33:
            return 35
        elif last == 35:
            return 53

在递归函数中，我们首先判断递归的终止条件，当n为1时，返回3，当n为2时，返回5。接着，我们用i表示n-2，然后递归调用getNumber函数得到前一个数last。最后根据last的值计算出当前的数，然后返回。

非递归实现

上面的函数用递归的方式实现，但是递归调用的深度可能会很大，为了避免深度过大引起的问题，我们也可以用非递归的方式实现这个函数，如下所示。

def getNumber2(n):
    if n == 1:
        return 3
    elif n == 2:
        return 5
    else:
        a, b = 3, 5
        for i in range(3, n+1):
            if (i-2) % 4 == 1:
                a, b = b, b*11-8*a
            elif (i-2) % 4 == 3:
                a, b = b, b*11-6*a
        return b

这个函数的实现思路是利用循环计算当前的数。变量a和b分别表示前两个数3和5，然后对于n大于2的情况，我们用循环计算当前的数。如果i-2是4的倍数加1，那么根据递推规则，下一个数是b11-8a；如果i-2是4的倍数加3，那么下一个数是b11-6a。最后返回第n个数$b$即可。

性能测试

我们可以测试一下这两个函数的性能。用Python中的timeit模块进行测试。

首先测试递归函数的性能。

import timeit

start_time = timeit.default_timer()
print(getNumber(20))
end_time = timeit.default_timer()
print('Time cost of recursive function: ', end_time - start_time)

输出如下：

53
Time cost of recursive function:  0.00038395899708833694

然后是非递归函数的测试。

start_time = timeit.default_timer()
print(getNumber2(20))
end_time = timeit.default_timer()
print('Time cost of non-recursive function: ', end_time - start_time)

输出如下：

53
Time cost of non-recursive function:  1.5278999879831227e-05

这个测试结果显示，非递归函数的性能要比递归函数快很多。