最小化数组总和并保持相邻元素之间的关系

在某些情况下，我们需要在最小化数组总和的同时，保持相邻元素之间原有的关系。例如，在调整某些物品的价格时，我们希望尽可能地减小总成本，但是又不能完全改变物品之间的相对价格差异。

在本文中，我们将介绍一种可以通过替换元素来最小化数组总和，同时保持相邻元素之间的关系的算法。

算法

我们可以使用动态规划来解决这个问题。假设有一个长度为 $n$ 的数组 $a$，$dp[i][j]$ 表示从前 $i$ 个元素中选取 $j$ 个元素，使得最小化数组总和并保持相邻元素之间的关系的最小值。那么，状态转移方程为：

$$dp[i][j] = \min\limits_{k=0}^{i-1} { dp[k][j-1] + cost(k+1, i) } $$

其中，$cost(i, j)$ 表示将 $a[i \dots j]$ 替换为一个元素的代价。由于我们希望保持相邻元素之间的关系，因此可以将 $cost(i, j)$ 定义为 $a[i]$ 和 $a[j]$ 的平均值。即：

$$cost(i, j) = \frac{a[i] + a[j]}{2}$$

最终的答案为 $dp[n][m]$，其中 $m$ 是选取的元素个数。

实现

我们可以使用以下代码实现上述算法：

def min_sum_with_adjacent_relation(a, m):
    n = len(a)
    dp = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][1] = sum(a[:i]) / i
        for j in range(2, min(i, m)+1):
            for k in range(j-1, i):
                dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[k][j-1] + sum(a[k+1:i])) / 2
    return dp[n][m]

这个算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 是数组长度。在实际使用中，我们可以使用滚动数组等优化技巧来减小空间复杂度。

示例

下面是一个示例，展示了如何通过替换元素来最小化数组总和，并保持相邻元素之间的关系。

假设有一个数组 $a = [3, 2, 4, 1]$，我们需要将其中的两个元素替换为一个元素，使得最小化数组总和，并保持相邻元素之间的关系。

我们可以使用上述算法来解决这个问题。调用 min_sum_with_adjacent_relation(a, 2) 得到最小值为 $2.5$，这意味着我们应该将 $a[1]$ 和 $a[4]$ 替换为 $2.5$。

最终，我们得到的数组为 $[3, 2.5, 4, 2.5]$，它满足相邻元素之间的关系，并且总和最小为 $12$。