通过相邻对的异或对数组元素进行 M 次替换后的第 K 个数组元素

本题解决的问题是，在一个由 $n$ 个数组成的数组 $a$ 中，对于给定的 $m$ 和 $k$ 值，执行 $m$ 次相邻元素异或操作（即将 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 按位异或），然后输出第 $k$ 个元素的值。

使用异或操作可以实现将两个数的不同之处标记为 $1$，相同之处标记为 $0$。在多次异或操作后，数组中每个元素的不同之处将更加明显，因此问题就转化为了在这个特殊的数组中找到第 $k$ 个元素。

这个问题可以用递归或循环的方式实现。以下是一个基于递归解决此问题的示例代码：

def helper(n, m, k):
    if n == 1:
        return k

    mid = pow(2, n - 1)
    if m >= mid:
        return helper(n - 1, m - mid, mid - k)
    else:
        return helper(n - 1, m, k)

n, m, k = map(int, input().split())
result = helper(n, m, k)
print(result)

这段代码的实现基于以下两个事实：

1. 在每次操作之后，原数组的中心点始终为 $a_{\frac{n+1}{2}}$。
2. 如果 $k$ 位于数组的左半侧，则在下一次操作中只需要处理左半侧的 $2^{n-2}$ 个项。否则，需要处理右半侧的 $2^{n-2}$ 个项。

因此，我们可以通过递归调用函数 helper，传递当前操作次数 $m$ 和目标位置 $k$。如果当前数组的长度为 $1$，则返回当前位置 $k$。否则，我们计算当前数组的中心点，并根据中心点的位置将原问题转换为相应的子问题。在处理了所有的子问题之后，我们就可以通过返回计算得到当前问题的解。

需要注意的是，在 Python 中进行很多次递归调用可能会导致栈溢出。如果需要处理大型数组，可以使用循环的方式实现上述算法。