通过 K 次替换最小化最大和最小数组元素之间的差异

问题描述

给定一个长度为 n 的数组 nums，和一个正整数 k。我们需要通过最多 k 次替换，将最大和最小元素之间的差异最小化。换句话说，将数组的最大值和最小值之间的差尽可能变小。

请你求出这个最小的差异。

解决方案

思路

我们对于答案二分，设二分的答案为 x。那么我们需要求出能否通过 k 次操作，使得最大值与最小值之差不超过 x。可以使用一个贪心的思想：尽量将最小值变大，同时将最大值变小。

具体来说，当我们想要将最小值尽量变大时，需要把数组中小于等于 x 的所有数都变成 x。同理，当我们想要将最大值尽量变小时，需要把数组中大于等于 x 的所有数都变成 x。这个过程可以通过排序实现。

此外，我们还需要注意减少操作次数。当我们移动一个数时，这个数可以被移动到它相邻的位置上，因此我们需要尽可能将数往相邻位置移动。

伪代码

可以使用以下代码实现：

1. 将数组排序。

2. 定义两个指针 left 和 right，分别指向数组的第一位和最后一位。

3. 定义变量 diff 记录最大值与最小值的差距。

4. while (k>0 && left<right)：

   a. 若 nums[right]-nums[left]<=x，直接返回 diff。

   b. 若 nums[left]+x<nums[right]-x，将 nums[left] 替换为 nums[left]+x，left++，diff -=x。

   c. 否则，将 nums[right] 替换为 nums[right]-x，right--，diff -=x。

5. 若 left>=right，则将 nums[left-1] 替换为 nums[left-1]+k，diff -=k，返回 diff。

时间复杂度

此算法的时间复杂度为 O(nlog n + n) = O(nlog n)，其中 n 为数组的长度。

代码实现

Python 实现

class Solution:
    def minimumDifference(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        nums.sort()
        left, right = 0, n - 1
        diff = nums[right] - nums[left]
        while k > 0 and left < right:
            if nums[right] - nums[left] <= diff:
                return diff
            elif nums[left] + k < nums[right] - k:
                diff -= k
                nums[left] += k
                left += 1
            else:
                diff -= k
                nums[right] -= k
                right -= 1
            k -= 1
        if left >= right:
            diff -= k
            nums[left - 1] += k
        return diff

Java 实现

class Solution {
    public int minimumDifference(int[] nums, int k) {
        int n = nums.length;
        Arrays.sort(nums);
        int left = 0, right = n - 1;
        int diff = nums[right] - nums[left];
        while (k > 0 && left < right) {
            if (nums[right] - nums[left] <= diff) {
                return diff;
            } else if (nums[left] + k < nums[right] - k) {
                diff -= k;
                nums[left] += k;
                left++;
            } else {
                diff -= k;
                nums[right] -= k;
                right--;
            }
            k--;
        }
        if (left >= right) {
            diff -= k;
            nums[left - 1] += k;
        }
        return diff;
    }
}