最多跳跃长度为 K 的数组可能获得的最大分数

简介

在这个问题中，给定一个数组，数组的每个元素代表在该位置上可以获得的分数。我们需要从数组的起始位置出发，每次跳跃的长度不超过 K，且可以选择向前或向后跳跃。我们需要选择一系列跳跃，以获得最大的分数。

解决方法

动态规划

动态规划是解决这类问题的常见方法。我们可以定义一个大小为 n 的 dp 数组，其中 dp[i] 表示从起始位置跳到第 i 个位置所能获得的最大分数。

我们可以进行如下的状态转移：

dp[i] = max(dp[i-j] + nums[i]) for 1 <= j <= k and (i-j) >= 0

我们从起始位置开始更新 dp 数组，直到最后一个位置，最后返回 dp[n-1] 即可。

以下是使用动态规划解决该问题的示例代码：

def max_score(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]

    for i in range(1, n):
        for j in range(1, min(k, i) + 1):
            dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] + nums[i])

    return dp[n - 1]

贪心算法

除了动态规划外，我们还可以使用贪心算法来解决这个问题。我们可以通过遍历数组，每次选择能够获得最大分数的跳跃方式。

具体的贪心策略如下：

• 如果当前位置的前 k 个位置中有不小于 0 的位置，则选择能够获得最大分数的那个位置进行跳跃。
• 如果当前位置的前 k 个位置中全是负数，则选择当前位置进行跳跃。

以下是使用贪心算法解决该问题的示例代码：

def max_score(nums, k):
    score = 0
    cur_score = 0

    for i in range(len(nums)):
        if i > k:
            cur_score -= nums[i-k-1] # 减去最远的 k 范围外的元素
        cur_score += nums[i] # 加上当前位置的分数
        score = max(score, cur_score) # 更新最大分数

    return score

复杂度分析

• 动态规划解法的时间复杂度为 O(n*k)，空间复杂度为 O(n)。
• 贪心算法解法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。

总结

通过动态规划或贪心算法，我们可以有效地解决最多跳跃长度为 K 的数组可能获得的最大分数问题。动态规划算法考虑了所有可能的跳跃方式，而贪心算法通过贪心策略选择了每次跳跃中能够获得最大分数的方式。具体的解决方法可以根据问题的要求和实际情况选择合适的算法进行解决。