构造二叉树最大分数问题

问题描述

给定一组整数，每个整数作为一个节点的权值，构造一棵二叉树，要求每个节点最多只能有两个子节点。在此条件下，将每条从根节点到叶子节点的路径上所有节点的权值相加，得到一些值，求这些值的最大值。

问题分析

此问题可以通过动态规划求解。

假设问题的解为f(i,j)，其中i表示二叉树的根节点编号，j表示这棵二叉树的节点数。因为任何一棵二叉树都可以从另外两棵子树合并而来，所以f(i,j)可以分解为f(i,k)+f(i+k+1,j-k-1)+w(i)的形式，其中k表示左子树的节点数，w表示节点i的权值。由此可以写出状态转移方程：

f(i,j) = max{f(i,k)+f(i+k+1,j-k-1)+w(i)} (0<=k<j)

题目要求最大化路径权值和，所以最终结果应该为f(1,n)，其中n为给定整数的数量。

代码实现

def maxScore(nums):
    n = len(nums)
    # dp数组用于存储状态
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    # 外层循环从下往上枚举子树大小
    for k in range(n):
        # 内层循环从左往右枚举起点i
        for i in range(n - k):
            # 计算终点j
            j = i + k
            # 初始化dp[i][j]
            dp[i][j] = nums[i] if i == j else 0
            # 枚举左右子树规模
            for l in range(0, j - i):
                r = j - i - l - 1
                # 更新dp[i][j]
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][i + l] + dp[i + l + 1][j] + nums[i] * nums[i + l + 1] * nums[j])
    # 返回结果
    return dp[0][n - 1]

时间复杂度

由于二维dp数组的大小为O(n^2)，内层循环的次数为O(n)，所以总时间复杂度为O(n^3)。

空间复杂度

因为只需要存储一次状态，所以空间复杂度为O(n^2)。

参考链接

算法基础课