可能的二进制字符串数

在数学和计算机科学中，二进制字符串是一个由0和1组成的字符串序列。在一些问题中，我们需要计算满足给定条件的二进制字符串的数量。

给定条件

一个二进制字符串可以满足以下条件：

1. 长度为 n。
2. 有且仅有 k 个 1。

解决方案

方案一

首先，我们可以使用组合公式计算 k 个元素的组合数量。然后，我们可以将这个数字与剩余元素的组合数量相乘，从而得到所有可以生成的二进制字符串的数量。

import math
def binary_strings(n, k):
    return math.comb(n, k)*(2**(n-k))

方案二

我们还可以使用递归回溯的方法来生成所有的二进制字符串，并检查它们是否满足给定条件。这个方法的时间复杂度可能会比较高，但是在某些情况下，它可能是更为便捷的方法。

def binary_strings(n, k):    
    def backtrack(path, count_ones):
        if len(path) == n:
            if count_ones == k:
                count[0] += 1
            return
        if count_ones < k:
            backtrack(path + "1", count_ones+1)
        backtrack(path+"0", count_ones)
        
    count = [0]
    backtrack("", 0)
    return count[0]

示例

我们可以通过以下代码进行测试：

print(binary_strings(5, 2)) # 10
print(binary_strings(6, 3)) # 20

以上代码表示在长度为5和6的二进制字符串中，有2个1和3个1的可能数分别为10和20。

结论

使用组合公式计算可以得到所需的结果，但递归回溯方法可能是更为便捷的方法。二者的时间复杂度都比较低，因此适合于在实践中使用。