在正好k次跳跃中找到到达最后一个岛所需的最小跳跃最大长度的最小值

近年来，这种问题越来越引起程序员们的兴趣。这个问题的解决可以帮助我们更好地了解图论中的一些经典问题。

问题描述

在一个有向无环图中，每个点都有一个值表示它所代表的岛的宝藏数量。你需要从第一个岛开始，花费正好 k 次跳跃到达最后一个岛，并带回尽可能多的宝藏。每次跳跃可以选择任意一个向外的边。

解决方案

我们可以使用二分法来解决这个问题。具体来说，我们可以先确定一个 mid，然后尝试寻找一条从源点到汇点的路径，使得这条路径上所有边的权值都不大于 mid，且这条路径的长度不大于 k。如果能够找到这样的一条路径，则我们继续尝试更小的 mid 值，反之我们需要查找更大的 mid 值。

根据这个思路，我们可以使用一个变形的二分法来查找最优的 mid 值。具体来说，我们维护一个区间 [l, r]，表示所有可能的 mid 值的区间，然后进行二分查找。在查找时，我们尝试寻找一条从源点到汇点的路径，其长度不大于 k，且它的边权最大值为 mid。如果我们能够找到这样的一条路径，则意味着符合条件的 mid 值在 [l, mid] 中，反之，则意味着符合条件的 mid 值在 [mid+1, r] 中。

对于每个 mid 值，我们可以使用深度优先搜索或广度优先搜索来查找从源点到汇点的路径。具体来说，我们可以从源点开始进行搜索，对于当前点 u，枚举它所有的出边 (u, v)，然后继续搜索 v。在搜索时，我们记录已经搜到的点数量，如果搜到了汇点，并且已经搜到了 k 个点，则停止搜索。

代码实现

以下是使用 Python 实现一个查找最优 mid 值的代码片段：

def solve(mid):
    visited = [False] * n
    def dfs(u, cnt, mx):
        if cnt == k:
            return mx
        visited[u] = True
        res = 0
        for v, w in g[u]:
            if visited[v] or w > mid:
                continue
            res = max(res, dfs(v, cnt+1, max(mx, w)))
            if res >= mx:
                break
        visited[u] = False
        return res
    return dfs(0, 1, 0)

l, r = 0, max_weight
while l < r:
    mid = (l + r) // 2
    if solve(mid) > 0:
        r = mid
    else:
        l = mid + 1

print(l)

在上述代码中，我们首先使用二分查找的方法确定一个 mid 值，然后使用 dfs 函数寻找一个符合条件的路径。如果 dfs 函数能够找到这样的路径，则说明 mid 值可能更小，我们继续尝试更小的 mid值；反之，mid 值可能更大，我们继续尝试更大的 mid 值。最后，当 l 和 r 相遇时，l 就表示最优的 mid 值。

总结

在本篇文章中，我们介绍了如何在正好 k 次跳跃中找到到达最后一个岛所需的最小跳跃最大长度的最小值。具体来说，我们使用二分法查找最优的 mid 值，然后使用深度优先搜索或广度优先搜索查找一个符合条件的路径。这个问题的解决可以帮助我们更好地了解图论中的一些经典问题。