最多进行K次跳跃即可到达N楼的方法数量

在本题中，我们需要求出最多进行 $K$ 次跳跃即可到达第 $N$ 层楼的方法数量。为了方便，我们将从第 $0$ 层楼开始跳，即需要到达第 $N-1$ 层楼。

我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。具体来说，我们可以定义一个二维数组 $dp$，其中 $dp[i][j]$ 表示在跳了 $i$ 次，到达第 $j$ 层楼的方法数量。显然，当 $i=0$ 时，只有一种方法到达第 $0$ 层楼，即不跳；当 $j=0$ 时，无论跳了多少次，只能到达第 $0$ 层楼，也只有一种方法。因此，我们有以下初始状态：

$$ dp[0][0]=1,\quad dp[0][j]=0\quad (j\neq0) $$

接下来，我们考虑如何转移。假设我们已经求出了 $dp[i-1][j']$，其中 $j'$ 表示跳了 $i-1$ 次后所在的楼层。那么我们可以从 $j'$ 跳到 $j'$ 的某个邻居（即 $j'+1$ 或 $j'-1$），从而得到一种新的到达 $j$ 的方法。注意到当 $j'=0$ 或 $j'=N-1$ 时，只有一种可行的跳跃方式。因此，我们有以下状态转移方程：

$$ dp[i][j]=\begin{cases} dp[i-1][1]+\ldots+dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j+1] & j\neq0, j\neq N-1 \ dp[i-1][1]+dp[i-1][N-2] & j=0 \ dp[i-1][0]+dp[i-1][N-2] & j=N-1 \end{cases} $$

最终我们需要求的答案即为 $dp[K][N-1]$，表示跳了 $K$ 次，到达第 $N-1$ 层楼的方法数量。

下面给出具体的实现。这里为了方便，我们使用了滚动数组来优化空间复杂度。

def jump(N: int, K: int) -> int:
    dp = [[0] * N for _ in range(2)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, K + 1):
        for j in range(N):
            if j == 0:
                dp[i % 2][j] = dp[(i - 1) % 2][1] + dp[(i - 1) % 2][N - 2]
            elif j == N - 1:
                dp[i % 2][j] = dp[(i - 1) % 2][0] + dp[(i - 1) % 2][N - 2]
            else:
                dp[i % 2][j] = dp[(i - 1) % 2][j - 1] + dp[(i - 1) % 2][j + 1]
    return dp[K % 2][N - 1]

时间复杂度：$O(KN)$

空间复杂度：$O(N)$