国王在棋盘上到达总位置

介绍一种经典的问题：国王在棋盘上走M步能够到达的总位置数。

问题描述

给定一个$n\times n$的棋盘，国王在上面走$M$步，求出国王能够到达的总位置数。

国王可以向上、下、左、右、左上、左下、右上、右下八个方向移动，且每一步只能走一格。

解法

我们可以使用动态规划来解决这个问题。假设$f(i,j,k)$表示国王走$k$步能够到达$(i,j)$的总位置数，则状态转移方程为：

$$f(i,j,k)=\sum_{d=1}^8 f(i+x_d,j+y_d,k-1)$$

其中$x_d$和$y_d$分别表示上、下、左、右、左上、左下、右上、右下八个方向的坐标偏移量。

初始状态为$f(i,j,0)=1$，表示国王不移动时只有一种到达该位置的方式。

最终答案为$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n f(i,j,M)$，表示国王能够到达的所有位置的总数。

代码实现

def count_positions(n: int, m: int) -> int:
    # 初始化状态数组
    f = [[[0] * (m + 1) for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            f[i][j][0] = 1

    # 状态转移
    for k in range(1, m + 1):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                for d in range(8):
                    x, y = i + dx[d], j + dy[d]
                    if x >= 0 and x < n and y >= 0 and y < n:
                        f[i][j][k] += f[x][y][k - 1]

    # 计算总位置数
    ans = 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            ans += f[i][j][m]

    return ans

其中，$dx=[-1, -1, -1, 0, 0, 1, 1, 1]$，$dy=[-1, 0, 1, -1, 1, -1, 0, 1]$，分别表示上、下、左、右、左上、左下、右上、右下八个方向的坐标偏移量。