最多 K 次跳跃的给定数组中的最大路径和

问题描述

给定一个整数数组 nums，以及一个整数 k，从数组的任意起始索引开始，最多允许跳 k 次，每次跳跃必须移动至相邻的元素，求所有可能的跳跃方案中，路径和的最大值。

解题思路

本题可以使用动态规划求解。

定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从索引 i 开始最多可以跳 j 次的情况下能得到的最大路径和。注意，由于本题要求从任意起始位置开始跳跃，因此需要对数组的所有位置进行遍历，并将每个位置作为起始位置。

状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[x][j-1] + nums[i])

其中 x 为 i 前面的所有位置，满足 i - x <= k。

最大路径和即为 dp 数组中的所有元素的最大值。

代码实现

def max_path_sum(nums: List[int], k: int) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [[float('-inf')] * (k + 1) for _ in range(n)]
    
    # 初始化，从 i 开始跳 0 次只能到达自身，路径和即为 nums[i]
    for i in range(n):
        dp[i][0] = nums[i]
    
    # 状态转移
    for j in range(1, k + 1):
        for i in range(n):
            for x in range(max(0, i - k), i):
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[x][j-1] + nums[i])
    
    # 返回最大路径和
    return max([max(row) for row in dp])

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n^2 * k)，其中 n 为数组长度。
• 空间复杂度：O(nk)。