数学 | 概率分布集 3（正态分布）

介绍

正态分布是一种概率分布，也被称为高斯分布。它是统计学中最广泛使用的分布之一，通常用于描述随机变量的分布情况，例如测量误差、体重、IQ等。

正态分布的密度函数为：

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

其中，$\mu$表示分布的均值，$\sigma$表示分布的标准差。

特点

正态分布具有如下特点：

1. 正态分布呈钟形曲线状，两侧对称；
2. 均值、中位数和众数相等；
3. 在均值处取得最大值，随着$x$离均值的距离增大，密度函数逐渐减小，但永远不为0；
4. 正态分布的累积分布函数是一个积分不完全解析的函数，因此通常使用数表或软件进行计算。

应用

正态分布在许多领域得到广泛应用，例如：

1. 统计学：正态分布是大多数统计学方法的基础之一；
2. 物理学：许多测量误差可以用正态分布来描述；
3. 生物学：身高、体重、血压等生物学指标通常呈正态分布；
4. 经济学：股票价格、收入等经济指标也常呈正态分布；
5. 工程学：机器噪声、电子元器件寿命等也可用正态分布描述。

实现

实现一个计算正态分布概率密度函数的函数，代码如下：

import math

def normal_distribution(x, mean, std_dev):
    """
    计算正态分布概率密度函数的值
    x: 自变量
    mean: 均值
    std_dev: 标准差
    """
    return (math.exp(-(x - mean) ** 2 / (2 * std_dev ** 2))) / (math.sqrt(2 * math.pi) * std_dev)

参考资料

1. 统计学习方法. 李航. 2019.
2. Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes. Hossein Pishro-Nik. 2014.