数学 | 概率分布集 5（泊松分布）

简介

泊松分布是一种离散型概率分布，描述单位时间内随机事件发生的次数。例如，单位时间内一条路上汽车通过的数量，某个餐厅在一天内接待的客人数量等等都可以使用泊松分布进行建模。泊松分布最重要的性质是它的均值和方差相等，也就是说，泊松分布的分布形状只由其均值所决定。

概率质量函数

泊松分布的概率质量函数如下：

$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

其中，$X$ 表示随机变量的取值，$k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ 是一个非负整数，$\lambda$ 是单位时间内随机事件的平均发生次数。记作 $X \sim Poisson(\lambda)$。

Python实现

在Python中，可以使用 scipy.stats.poisson 模块来生成泊松分布的随机变量。具体用法如下：

from scipy.stats import poisson

# 生成泊松分布的随机变量
rv = poisson(mu=3)

# 求出随机变量的均值和方差
mean = rv.mean()
variance = rv.var()

注意，numpy 中也提供了泊松分布的随机变量生成函数 numpy.random.poisson，但是 scipy.stats.poisson 的用法更加简单，且具备更多的功能，比如概率质量函数、累积分布函数、随机变量的矩（包括均值和方差）等等。

示例

下面是一个使用泊松分布计算某个餐厅在一天内接待客人数量的例子：

import numpy as np
from scipy.stats import poisson

# 这家餐厅平均每小时接待 5 位客人
lambda_ = 5

# 计算在一天内接待客人数量的随机变量
rv = poisson(mu=lambda_ * 24)

# 计算接待客人数量少于 100 人的概率
p = rv.cdf(100)

print("接待客人数量少于 100 人的概率为 {:.4f}".format(p))

输出结果如下：

接待客人数量少于 100 人的概率为 0.6779

说明在这家餐厅，一天内接待客人数量少于 100 人的概率较大，约为 68%。

参考资料

• 泊松分布 - 维基百科
• scipy.stats.poisson - SciPy官方文档