由 X 和 Y 组成的最大数，其中 X 可被 Y 整除，Y 可被 X 整除

问题描述：给定两个正整数 X 和 Y，找到一个最大的正整数 Z，使得 Z 既能被 X 整除，又能被 Y 整除。

思路一

• 首先，我们需要获得 X 和 Y 的最大公约数 gcd。
• 然后，我们可以得到 X 和 Y 的最小公倍数 lcm = X * Y / gcd。
• Z 的值应该为 lcm。

def get_largest_number(X: int, Y: int) -> int:
    def gcd(a: int, b: int) -> int:
        while b:
            a, b = b, a % b
        return a
    lcm = X * Y // gcd(X, Y)
    return lcm

该函数使用辗转相除法计算 X 和 Y 的最大公约数，并返回 X 和 Y 的最小公倍数。 这个算法时间复杂度为 O(log(min(X, Y)))。

思路二

思路一是通过求 X 和 Y 的最小公倍数来获得结果的。但事实上，我们可以通过找到 X 和 Y 的公共因子来简化这个问题。并且，因为 X 和 Y 互为倍数关系，所以它们必须有一个公共因子。

• 假设 d 是 X 和 Y 的公共因子。
• 那么，由于 X 是 d 的倍数，我们可以得到一个个数为 k 的整数 a，使得 X = a * d。
• 同样，Y 也可以表示为 b * d。
• 因此，Z = a * b * d。

def get_largest_number(X: int, Y: int) -> int:
    def gcd(a: int, b: int) -> int:
        while b:
            a, b = b, a % b
        return a
    gcd_xy = gcd(X, Y)
    lcm = X * Y // gcd_xy
    return lcm // gcd_xy

该函数先计算 X 和 Y 的最大公约数，然后计算它们的最小公倍数，并最终返回最大的 Z。 该功能的时间复杂度为 O(log(min(X, Y)))。

思路三

在思路二的基础上，可以通过使用递归和位运算来优化求最大公约数的过程。

• 如果 X 和 Y 都是偶数，则 gcd(X, Y) = 2 * gcd(X/2, Y/2)。
• 如果 X 是偶数，Y 是奇数，则 gcd(X, Y) = gcd(X/2, Y)。
• 如果 X 是奇数，Y 是偶数，则 gcd(X, Y) = gcd(X, Y/2)。
• 如果 X 和 Y 都是奇数，则 gcd(X, Y) = gcd(abs(X - Y), min(X, Y))。

def get_largest_number(X: int, Y: int) -> int:
    if X == 0 or Y == 0:
        return 0
    def gcd(x: int, y: int) -> int:
        if x == y:
            return x
        if x < y:
            return gcd(y, x)
        if x & 1:
            if y & 1:
                return gcd(abs(x - y), min(x, y))
            else:
                return gcd(x, y >> 1)
        else:
            if y & 1:
                return gcd(x >> 1, y)
            else:
                return gcd(x >> 1, y >> 1) << 1

    gcd_xy = gcd(X, Y)
    lcm = X * Y // gcd_xy
    return lcm // gcd_xy

这个算法使用了更快的最大公约数计算方法，其时间复杂度为 O(log(min(X, Y)))。