可以被给定的N位数字集(最多由0和7组成)的最大数，可以被50整除

简介

在给定一个最多由0和7组成的长度为N的数字集合中，寻找最大的能够被50整除的数。

解决方法

方法1: 暴力枚举

首先，我们需要清楚一个性质：一个数能被50整除，当且仅当它能被10整除，并且它的个位上是0。于是，我们可以从高位到低位扫描这个数字集，每一位的选择只有0或者7，如果选择了7，则要求前面的数字模10余3，如果选择了0，则不限制前面数字的余数。最后得到的数一定是能被50整除的最大数。

时间复杂度：$O(2^N)$

方法2: 数学分析

如果一个数能被50整除，那么它一定能被10和25整除，所以我们只需要找一个长度为N的由0和7组成的序列，并且这个序列末尾连续的两个数字组成的数能被4整除（因为25能被4整除）即可。不妨假设这个序列的长度为k，那么我们只需要在这个序列中找到一个尽可能长的子序列，使得它末尾的两个数字组成的数能被4整除。对于长度为k的序列，末尾两个数能组成的数字共有8种，分别是00、04、07、14、17、20、24、27。我们可以用一个长度为8的桶记录每一种数字组合的最长子序列长度，然后从桶的末尾向前遍历，取长度最长的子序列作为答案。

时间复杂度：$O(N)$

代码实现

方法1: 暴力枚举

def max_num(N):
    if N == 1:
        return 0
    ans = -1
    for i in range(2 ** N):
        flag = True
        num = 0
        for j in range(N):
            if i & (1 << j):
                num = num * 10 + 7
                if num % 10 != 3:
                    flag = False
                    break
            else:
                num = num * 10
        if flag and num % 50 == 0:
            ans = max(ans, num)
    return ans

方法2: 数学分析

def max_num(N):
    if N == 1:
        return 0
    cnt = [0] * 8
    for i in range(2 ** N - 1, -1, -1):
        num = 0
        for j in range(N):
            if i & (1 << j):
                num = num * 10 + 7
            else:
                num = num * 10
        if num % 4 == 0:
            idx = (num % 100) // 10 * 4 + num % 4
            cnt[idx] = max(cnt[idx], bin(i).count('1'))
    ans = 0
    for i in range(8):
        if cnt[i] > 0:
            num = i // 4 * 10 + i % 4
            ans = ans * (2 ** cnt[i]) + num * (10 ** cnt[i])
    return ans

总结

两种方法分别适用于不同情况。当N比较小的时候，暴力枚举的时间复杂度并不高，可以使用方法1；当N比较大时，可以使用方法2进行数学分析，优化时间复杂度。