介绍

二叉搜索树是一种重要的数据结构，在计算机科学中有着广泛的应用。在计算由H个节点组成，高度为H的二叉搜索树的数量时，我们可以采用递归的方式求解。这是一个经典问题，也是一道不错的算法题目，下面我们将详细介绍如何计算。

算法思路

对于这个问题，我们可以考虑在一个由H个节点组成的二叉搜索树中，选取一个节点作为根节点，那么它就把树分成了左子树和右子树。接下来，我们可以递归地计算出左子树和右子树中由H-1个节点组成，高度分别为k和H-k-1的二叉搜索树数量，最后将左子树和右子树的数量相乘即可得到由H个节点组成，高度为H的二叉搜索树数量。

举个例子，假设我们要求由4个节点组成，高度为3的二叉搜索树数量。我们可以分别选择1、2、3、4作为根节点，将树分为左子树和右子树。然后计算出左右子树中由3个节点组成，高度为2的二叉搜索树数量，最后将左右子树的数量相乘即可得到由4个节点组成，高度为3的二叉搜索树数量。

代码实现

下面是Python实现代码：

def num_trees(h: int) -> int:
    if h == 0 or h == 1:
        return 1
    res = 0
    for k in range(h):
        res += num_trees(k) * num_trees(h - k - 1)
    return res

h = 3
print(f"There are {num_trees(h)} binary search trees with {h} nodes and height {h}")

时间复杂度

在计算由H个节点组成，高度为H的二叉搜索树数量时，我们需要递归计算左右子树的数量，因此时间复杂度为$O(Catalan_H)$，其中Catalan_H表示第H个卡特兰数。由于卡特兰数增长是指数级别的，因此我们在计算过程中需要注意优化。