介绍

在计算机科学和数学中，二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST）是一种特殊的二叉树，它的节点按从小到大的顺序排列，并且在插入或搜索元素时具有较高的效率。本文将介绍由 H + 1 个节点组成的，高度为 H 的二叉搜索树的数量计算问题。

解法

令 G(n) 表示由 n 个节点组成的 BST 的数量。可以得到以下递推公式：

G(n) = ∑G(i-1) * G(n-i),

其中 i 表示有 i 个点在 root 左边，(n-i) 表示有 (n-i) 个点在 root 右边。

为什么这个公式是正确的呢？因为在 [1, 2, 3, ..., n] 中任选一个作为 root，可以把 [1, 2, 3, ..., n] 划分为两段，[1, 2, 3, ..., i-1] 和 [i+1, i+2, ..., n]。左边的 i-1 个数又可以组成一棵 BST，右边的 n-i 个数也可以组成另一棵 BST，而这两棵 BST 又可以组成一棵 BST。

另外，当 n = 0 时，G(0) = 1；当 n = 1 时，G(1) = 1，因为只有一个节点时只有一种 BST。

使用递归的方式计算 G(n) 的值即可，时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

代码

def numTrees(n: int) -> int:
    if n == 0 or n == 1:
        return 1
    else:
        ans = 0
        for i in range(1, n + 1):
            ans += numTrees(i - 1) * numTrees(n - i)
        return ans

总结

本文介绍了由 H + 1 个节点组成的，高度为 H 的二叉搜索树的数量的计算方法，使用了递推公式 G(n) = ∑G(i-1) * G(n-i)。这个递推公式的意义是，在 [1, 2, 3, ..., n] 中任选一个作为 root，左边的 i-1 个数又可以组成一棵 BST，右边的 n-i 个数也可以组成另一棵 BST，而这两棵 BST 又可以组成一棵 BST。最后，我们实现了这个递推公式的代码。