由三条线上的一组点形成的三角形数量

在计算机图形学中，经常需要计算由一组点形成的三角形的数量。特别的，我们可以考虑由三条线上的一组点（假设每条线上有 $n$ 个点）形成的三角形数量。

怎么计算

为了方便起见，我们不妨设这三条线依次为 $A,B,C$。考虑从这三条线上取三个点 $a,b,c$，它们组成的三角形面积可以表示为：

$$S_{a,b,c} = \frac{1}{2} \cdot | (x_b - x_a) \cdot (y_c - y_a) - (x_c - x_a) \cdot (y_b - y_a) |$$

其中 $x_i$ 和 $y_i$ 分别表示点 $i$ 的横纵坐标。如果不考虑顺序和方向，则我们需要统计所有不同的三点组合，这样计算的三角形数量就是：

$$\binom{n}{3}$$

但是，在实际情况下，每条线上的点是有序的。如果考虑顺序，则对于每一个 $a$，它对应的 $b$ 和 $c$ 必须满足 $b>c$，以免重复计算。于是，考虑枚举 $a$，再枚举 $b$（从 $a+1$ 开始），统计它可以和多少个 $c$ 组成合法的三角形。这样计算的三角形数量就是：

$$\sum_{i=1}^{n-2} \sum_{j=i+1}^{n-1} (n-j)$$

化简一下，可以得到：

$$\frac{(n-2) \cdot (n-1) \cdot n}{6}$$

代码片段

以下是计算三角形数量的 Python 代码片段：

def count_triangles(n: int) -> int:
    return (n-2) * (n-1) * n // 6

性质

这个结果有一个重要的性质，即随着 $n$ 的增大，三角形数量呈现 $\Theta(n^3)$ 的增长。这说明了计算所需要的时间和空间都会随着 $n$ 增大而增加。在实际应用中，我们需要注意这一点，避免出现运行时间过长或者空间爆炸的情况。