最长可能的分块回文

在本文中，我们将介绍分块回文（palindrome partitioning）问题以及实现最长可能的分块回文的算法。分块回文是将一个字符串分割成若干个回文串的方式，使得每个回文串的长度都尽可能地大。

分块回文问题

给定一个字符串 s，将其分割成若干个回文串的方式共有多少种？

例如，对于字符串 "aab"，有以下三种分割方式：

• ["a","a","b"]
• ["aa","b"]
• ["aab"]

其中第一种和第二种都不是分块回文，因为每个回文串的长度不尽可能地大。第三种是分块回文，因为只有一个回文串且其长度为 3。

最长可能的分块回文算法

要实现最长可能的分块回文，我们可以使用动态规划算法。

我们定义 dp[i] 表示字符串 s 的前 i 个字符组成的子串的最长可能的分块回文长度。那么 dp[s.length()] 就是我们要求的答案。

状态转移方程如下：

当 j = 0 时：

dp[i] = 1 如果 s[0,i) 是回文串
      i 如果 s[0,i) 不是回文串

当 j > 0 时：

如果 s[j,i) 是回文串，那么 dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)

其中 dp[s.length()] 的初始值为 0。

下面是 Java 实现代码：

public int minCut(String s) {
    int n = s.length();
    int[] dp = new int[n+1];
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (isPalindrome(s, j, i-1)) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[n] - 1;
}

public boolean isPalindrome(String s, int i, int j) {
    while (i < j) {
        if (s.charAt(i++) != s.charAt(j--)) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

总结

最长可能的分块回文问题是一个经典的动态规划问题，可以使用一维数组 dp 来解决。我们将状态定义成字符串的前缀的方式，然后通过一个双重循环进行状态转移。这个算法的时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。