打印最长回文序列

介绍

回文是一种特殊的字符串，它从左往右读和从右往左读是一样的。例如，"racecar"、"level" 和 "madam" 都是回文。

最长回文序列是一个字符串中最长的回文子序列。例如，在字符串 "babad" 中，最长回文序列为 "bab" 或 "aba"。

在本文中，我们将介绍几种方法来打印出一个字符串的最长回文序列。

方法一：暴力搜索

思路

首先，我们可以想到一种朴素的搜索方法：对于所有可能的子序列，判断它们是否为回文序列，并计算它们的长度。然后找出长度最长的回文序列。

具体来说，我们可以按如下步骤进行搜索：

1. 枚举所有子序列。
2. 判断子序列是否回文。
3. 如果是回文，计算它的长度。
4. 如果比当前最长回文序列要长，就更新最长回文序列。

代码

def longest_palindrome(s: str) -> str:
    n = len(s)
    longest_str = ""
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            sub_str = s[i:j + 1]
            if sub_str == sub_str[::-1] and len(sub_str) > len(longest_str):
                longest_str = sub_str
    return longest_str

复杂度分析

这种方法的时间复杂度为 $O(n^3)$，因为我们需要枚举所有子序列来进行判断。

空间复杂度为 $O(1)$，因为我们不需要使用额外的空间。

方法二：动态规划

思路

我们可以使用动态规划来解决这个问题。具体来说，我们可以定义一个状态 $dp(i, j)$，表示字符串 $s$ 从 $i$ 到 $j$ 所表示的子串是否是回文。

• 如果 $s_i$ 等于 $s_j$，那么 $dp(i, j) = dp(i+1, j-1)$。
• 如果 $s_i$ 不等于 $s_j$，那么 $dp(i, j) = False$。
• 如果 $j-i \leq 2$，那么 $dp(i, j) = True$。

根据这个定义，我们可以写出如下代码：

代码

def longest_palindrome(s: str) -> str:
    n = len(s)
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]
    longest_str = ""
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        for j in range(i, n):
            if (s[i] == s[j] and (j - i <= 2 or dp[i + 1][j - 1])):
                dp[i][j] = True
                if j - i + 1 > len(longest_str):
                    longest_str = s[i:j + 1]
    return longest_str

复杂度分析

这种方法的时间复杂度为 $O(n^2)$，因为我们只需要枚举所有长度大于等于 $3$ 的子串，而对于每个子串，我们只需要 $O(1)$ 的时间来计算它是否回文。

空间复杂度为 $O(n^2)$，因为我们需要用一个二维数组来存储状态。

方法三：中心扩散

思路

我们可以使用中心扩散来解决这个问题。具体来说，我们可以枚举每个可能成为回文中心的位置，然后尝试向两边扩展，直到无法扩展为止。

具体来说，我们可以按如下步骤进行搜索：

1. 枚举所有可能成为回文中心的位置。
2. 尝试向两边扩展，直到无法扩展为止。
3. 如果比当前最长回文序列要长，就更新最长回文序列。

代码

def longest_palindrome(s: str) -> str:
    n = len(s)
    longest_str = ""
    for i in range(n):
        # 中心为一个字符
        left, right = i, i
        while left >= 0 and right < n and s[left] == s[right]:
            left -= 1
            right += 1
        if right - left - 1 > len(longest_str):
            longest_str = s[left + 1:right]
        # 中心为两个字符
        left, right = i, i + 1
        while left >= 0 and right < n and s[left] == s[right]:
            left -= 1
            right += 1
        if right - left - 1 > len(longest_str):
            longest_str = s[left + 1:right]
    return longest_str

复杂度分析

这种方法的时间复杂度为 $O(n^2)$，因为我们需要枚举所有可能成为回文中心的位置，并尝试向两边扩展。

空间复杂度为 $O(1)$，因为我们不需要使用额外的空间。

总结

本文介绍了三种方法来打印一个字符串的最长回文序列：暴力搜索、动态规划、中心扩散。其中，动态规划是最优的方法，因为它的时间复杂度和空间复杂度都比其他两种方法要低。