通过给定数组两端存在的元素，使最长的非递减数组的长度最大化

题目描述

给定一个数组 nums，其中两个元素 start 和 end 已知，求将 nums[start] 和 nums[end] 作为子串端点所能组成的最长非递减数组的长度。

思路分析

此题可以采用动态规划的方法来解决，我们设计状态 $dp[i]$ 表示前 $i$ 个数中以 $nums[i]$ 结尾的最长非递减数组的长度。

转移方程为：

$$ dp[i] = \begin{cases} 1 & i = start, \ \max_{j < i,nums[j] \leq nums[i]} (dp[j] + 1) & i \neq start \end{cases} $$

边界条件为 $dp[start] = 1$。

因为子串必须包含第一个和最后一个元素，所以结果为 $\max_{start \leq i \leq end} dp[i]$。

最后，我们返回的应该是最长非递减数组的长度，即 $\max_{start \leq i \leq end} dp[i]$。

代码实现

下面给出 Python 代码实现，时间复杂度为 $O(n^2)$。

def max_length(nums, start, end):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    dp[start] = 1
    for i in range(start + 1, end + 1):
        for j in range(start, i):
            if nums[j] <= nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp[start:end + 1])

测试示例

nums = [1, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 8]
start = 1
end = 6
print(max_length(nums, start, end))  # 4

总结

本题是一道比较经典的动态规划问题，需要仔细理解状态和状态转移方程。同时，还需要注意一下边界条件和题目要求的最终结果。