通过给定操作获得给定数组所需的最小步骤数

本文将介绍一种常见的编程问题：通过给定操作获得给定数组所需的最小步骤数。该问题可以用于衡量算法的效率和复杂度，并且在实际的编程工作中也有广泛的应用场景。

问题描述

给定一个初始状态为 $A$ 的长度为 $n$ 的整数数组，和一个目标状态 $B$，每次只能进行以下操作之一：

• 将 $A$ 中的一个元素加 $1$。
• 将 $A$ 中的一个元素减 $1$。

请问，将 $A$ 转化为 $B$ 所需的最小步骤数是多少？

解法

思路

显然，该问题可以通过 BFS、贪心或者动态规划等算法来解决，这里我们主要介绍动态规划的解法。

设 $dp_{i,j}$ 表示将 $A[1:i]$ 转化为 $B[1:j]$ 所需的最小步骤数。则有以下转移方程：

• 当 $A[i] = B[j]$ 时，$dp_{i,j} = dp_{i-1,j-1}$；
• 当 $A[i] > B[j]$ 时，$dp_{i,j} = \min(dp_{i-1,j} + A[i] - B[j],dp_{i-1,j-1} + B[j] - A[i])$；
• 当 $A[i] < B[j]$ 时，$dp_{i,j} = \min(dp_{i-1,j} + B[j] - A[i],dp_{i-1,j-1] + A[i] - B[j])$。

最终，$dp_{n,n}$ 即为所求。

代码示例

def min_steps(A, B):
    n = len(A)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + abs(A[i - 1] - B[0])
        dp[0][i] = dp[0][i - 1] + abs(A[0] - B[i - 1])
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if A[i - 1] == B[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            elif A[i - 1] > B[j - 1]:
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + A[i - 1] - B[j - 1], dp[i - 1][j - 1] + B[j - 1] - A[i - 1])
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + B[j - 1] - A[i - 1], dp[i - 1][j - 1] + A[i - 1] - B[j - 1])
    return dp[n][n]

总结

动态规划是解决该问题的一种经典算法，该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其优点在于其可读性和易于理解性。在实际的编程中，我们可以利用动态规划的思想来解决类似的问题，提高算法的效率和准确性。