通过给定数组两端的元素最大化最长非递减数组的长度

介绍

有一个由整数构成的数组，现在要从两端开始选取若干个元素，构成一个新数组。新数组中元素的顺序必须与原数组中的顺序相同，但是可以删除其中多余的元素，使得新数组成为一个非递减数组。现在要求通过算法，找到一种方法，最大化新数组的长度。

解题思路

我们可以使用动态规划来解决这个问题。具体来说，假设我们要构成的新数组是 $B$，原数组是 $A$。我们维护一个二维数组 $dp$，其中 $dp[i][j]$ 表示以 $A[i]$ 作为新数组的开头、以 $A[j]$ 作为新数组的结尾时，能够构成的最长非递减数组的长度。显然，$dp[i][i] = 1$。

接下来考虑如何递推。我们可以从 $i = n-1,n-2,\ldots,1,0$ 开始依次枚举新数组的开头，从 $j=i+1,i+2,\ldots,n-1$ 开始依次枚举新数组的结尾，根据 $A[i]$ 和 $A[j]$ 之间的关系，来更新 $dp[i][j]$。更新方法如下：

• 若 $A[i] \le A[j]$，则有 $dp[i][j] = dp[i+1][j]$，因为我们可以保留 $A[i]$，并把 $A[i+1]$ 作为开头来构成新数组，这里由于 $A[i]$ 没有被删除，所以新数组一定是非递减的。
• 若 $A[i] > A[j]$，则我们考虑删除 $A[j]$，再从 $j$ 开始往右找最后一个比 $A[j]$ 大的位置 $k$，然后以 $k$ 作为新数组的结尾。这样可以保证新数组一定是非递减的。因此有 $dp[i][j] = dp[i][k-1]+1$。注意到 $k$ 可能不存在，此时 $dp[i][j] = 1$。

最终答案即为 $dp[0][n-1]$。

代码示例

下面是使用 Python 实现的样例代码：

def max_len_non_decreasing_array(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1
    for i in range(n-2, -1, -1):
        for j in range(i+1, n):
            if nums[i] <= nums[j]:
                dp[i][j] = dp[i+1][j]
            else:
                k = j
                while k < n and nums[k] < nums[j]:
                    k += 1
                if k < n:
                    dp[i][j] = dp[i][k-1] + 1
                else:
                    dp[i][j] = 1
    return dp[0][n-1]

该代码的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度也为 $O(n^2)$。可以通过一些技巧来优化。比如可以只使用一维数组来存储 $dp$ 数组的某一行，这样空间复杂度就变成了 $O(n)$。另外，在更新 $dp[i][j]$ 的时候，可以使用二分查找来寻找位置 $k$，这样时间复杂度就变成了 $O(n\log n)$。

总结

本文介绍了如何使用动态规划来解决一个数组问题，这个问题的思想和方法也可以应用到其他类似的问题上。同时，我们也对动态规划的时间复杂度和空间复杂度进行了分析，这对于算法优化也有一定的启示作用。