使用合并排序树的修改后的快速排序所涉及的比较

快速排序是常用的排序算法之一，但快速排序的最坏时间复杂度为 $O(n^2)$，可能出现极端情况。为了解决这一问题，我们可以使用合并排序树来优化快速排序。

合并排序树

合并排序树是一种数据结构，可以在 $O(n\log n)$ 的时间复杂度内对一组数据进行排序。合并排序树实际上是一个基于归并排序的树状结构，每个节点代表一个区间，其值为该区间内所有元素的排序结果。

对于排序的序列，可以将其划分成多个区间，每个区间都可以看作一个子序列，接着对每个子序列进行排序。将排序后的结果存入合并排序树的节点中。合并排序树可以通过递归地合并每个节点来实现对整个序列的排序，具体实现可以看作是归并排序的树状版本。

修改后的快速排序

我们可以将快速排序改成在合并排序树上遍历实现。具体实现过程为，对于序列 $a$，取其第一个元素 $a_1$ 作为枢纽值。将序列分为三部分，即小于 $a_1$、等于 $a_1$、大于 $a_1$ 的元素三个部分，分别为 $A,B,C$。进行如下操作：

1. 递归对 $A$、$C$ 部分进行排序。
2. 将 $A$、$B$、$C$ 三个部分的排序结果合并成一个序列。
3. 对合并后的序列再次进行递归排序。

我们可以发现这个快排中，存在一部分是对序列进行合并。而合并的过程可以通过合并排序树实现，因此就形成了我们修改后的快速排序算法。

涉及的比较

在快速排序过程中，每个元素都会和枢轴元素进行比较，而在使用合并排序树的快速排序中，每次比较是在合并排序树中进行的。从合并排序树中查询到的元素和枢轴元素进行比较，以确定该元素的位置。因此，使用合并排序树的快速排序中还是会涉及到大量的比较操作，但比较的对象已经从序列中的元素变成了合并排序树中的元素。合并排序树带来的优化在于，它可以减少递归调用的次数，从而减少了枢轴选择错误的概率，提高了排序的性能。

代码实现

以下是使用合并排序树的快速排序的 Python 代码实现。

def quick_sort_merge(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    pivot = arr[0]
    A = [x for x in arr if x < pivot]
    B = [x for x in arr if x == pivot]
    C = [x for x in arr if x > pivot]
    return merge(quick_sort_merge(A), B, quick_sort_merge(C))
    
def merge(A, B, C):
    tree = merge_sort_tree([])
    tree.build_tree(A + B + C)
    return tree.sort()
    
class merge_sort_tree:
    def __init__(self, arr):
        self.arr = arr
        self.tree = None

    def build_tree(self, arr):
        self.arr = arr
        self.tree = self.build(0, len(self.arr) - 1)

    def build(self, l, r):
        if l == r:
            return [self.arr[l]]
        mid = (l + r) // 2
        left = self.build(l, mid)
        right = self.build(mid + 1, r)
        return self.merge(left, right)

    def merge(self, a, b):
        res = []
        i, j = 0, 0
        while i < len(a) and j < len(b):
            if a[i] < b[j]:
                res.append(a[i])
                i += 1
            else:
                res.append(b[j])
                j += 1
        res += a[i:]
        res += b[j:]
        return res

    def sort(self):
        res = []
        for i in range(len(self.arr)):
            res.append(self.query(self.tree, self.arr[i]))
        return res

    def query(self, root, x):
        if len(root) == 1:
            return root[0]
        mid = (len(root) - 1) // 2
        if x <= self.arr[mid]:
            return self.query(root[:mid + 1], x)
        else:
            return self.query(root[mid + 1:], x)

在这个实现中，merge_sort_tree 类是合并排序树的实现。其中，build_tree 函数用于建立合并排序树，sort 函数用于查询并排序序列。query 函数用于在合并排序树中查找元素的位置。quick_sort_merge 函数是使用合并排序树的快速排序的实现，其中 merge 函数是用于合并序列的。

以上代码是需要在 Python 环境中运行的，但为了方便查看，这里使用了 Markdown 。