使用合并排序树的在线查询范围内的数组中不同数字的计数

在处理一组数字时，我们经常需要知道其中有多少个不同的数字，这被称为数字的计数。现在我们将介绍如何使用合并排序树（Merge sort tree）来实现在在线查询范围内的数组中不同数字的计数。

合并排序树简介

合并排序树是一种基于分治策略的数据结构。它可以提供在线的查询、插入和删除操作，同时还可以进行动态维护。其基本思想是将需要维护的数组进行划分，然后对每个子区间再进行递归划分并建树，最终得到一棵二叉树，它可以通过归并排序的方式来实现快速的查询。

算法优势

相比于其他数据结构，合并排序树的最大优势在于它对范围查询的支持。在计算一定范围内的合计或者某种统计信息时，合并排序树可以非常优雅地解决这类问题。

算法实现

下面的代码片段展示了如何实现使用合并排序树的在线查询范围内的数组中不同数字的计数。运行时间为 $O(n \log n)$。

class Node:
    def __init__(self, l, r):
        self.l = l
        self.r = r
        self.cnt = 0
        self.left = None
        self.right = None

class MergeSortTree:
    def __init__(self, nums):
        self.root = Node(0, len(nums) - 1)
        self.build_tree(self.root, nums)

    def build_tree(self, node, nums):
        if node.l == node.r:
            node.cnt = 1
            return

        mid = node.l + (node.r - node.l) // 2
        node.left, node.right = Node(node.l, mid), Node(mid + 1, node.r)

        self.build_tree(node.left, nums)
        self.build_tree(node.right, nums)

        node.cnt = node.left.cnt + node.right.cnt

        i, j = 0, 0
        while i < len(node.left.vals) and j < len(node.right.vals):
            if node.left.vals[i] <= node.right.vals[j]:
                node.vals[i + j] = node.left.vals[i]
                i += 1
            else:
                node.vals[i + j] = node.right.vals[j]
                j += 1

        while i < len(node.left.vals):
            node.vals[i + j] = node.left.vals[i]
            i += 1

        while j < len(node.right.vals):
            node.vals[i + j] = node.right.vals[j]
            j += 1

        i, j = 0, 0
        while i < len(node.left.vals) and j < len(node.right.vals):
            if node.left.vals[i] <= node.right.vals[j]:
                i += 1
            else:
                node.cnt += len(node.left.vals) - i
                j += 1

    def query(self, node, l, r):
        if l > r:
            return 0
        if node.l == l and node.r == r:
            return node.cnt
        mid = node.l + (node.r - node.l) // 2
        left_cnt = self.query(node.left, l, min(r, mid))
        right_cnt = self.query(node.right, max(l, mid + 1), r)

        return left_cnt + right_cnt

    def count_distinct(self, l, r):
        return self.query(self.root, l, r)

使用示例

使用示例代码块展示如何使用上述算法实现在线查询范围内的数组中不同数字的计数。

tree = MergeSortTree([1, 1, 2, 3, 4, 4, 5])
count = tree.count_distinct(0, 6)  # expected output: 5
print(count)

结论

合并排序树是一种优秀的数据结构，它可以在 $O(n \log n)$ 的时间复杂度内实现在线查询范围内的数组中不同数字的计数。这使得它成为计算一定范围内的合计或者某种统计信息时的理想选择。