满足直线方程的有序点对数

简介

在平面直角坐标系中，给定一条直线的方程，求平面上满足该直线方程的有序点对数。

例如，给定直线 $y = x$，那么该直线上的点包括 $(1,1)$，$(2,2)$，$(3,3)$ 等等，这些点对 $(1,1)$，$(2,2)$，$(3,3)$ 等等都是满足直线方程的有序点对。

这道题的输入是一条直线方程，输出是满足该方程的所有有序点对数。

解法

有多种方法可以解决这个问题，接下来介绍两种方法。

基于枚举的暴力解法

最朴素的想法是枚举平面上所有的点对，然后验证这些点对是否满足给定的直线方程。这种算法显然比较慢，时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是平面上点的个数。

def count_points_on_line(line):
    count = 0
    for x1 in range(101):
        for y1 in range(101):
            for x2 in range(x1+1, 101):
                for y2 in range(y1, 101):
                    if (y2-y1)*(x1-x2) == (x2-x1)*(y1-line(x1)):
                        count += 1
    return count

该算法在点数较小的情况下可以通过，但是在点数较大的情况下无法完成计算。

基于哈希表的优化

可以发现，对于直线方程 $y = kx + b$，在 $x$ 轴方向和 $y$ 轴方向上的增长量始终为 $k$ 和 $1$，可以根据这个性质对算法做出一些优化。

具体地，在枚举点对 $(x1, y1)$ 和 $(x2, y2)$ 时，如果它们满足直线方程，那么直线的斜率 $k = \frac{y2-y1}{x2-x1}$ 就已经确定了，只需要统计斜率为 $k$ 的点对数即可。

为了实现这个优化，我们可以用一个哈希表来记录每个斜率对应的点对数。遍历所有点对时，统计每个斜率的点对数，并把它们求和就是最终的答案。

def count_points_on_line(line):
    count = 0
    slope_counts = {}  # 哈希表
    for x1 in range(101):
        for y1 in range(101):
            for x2 in range(x1+1, 101):
                for y2 in range(y1, 101):
                    if x1 == x2 and y1 == y2:
                        continue
                    slope = float('inf')  # 处理斜率为无穷的情况
                    if x1 != x2:
                        slope = (y2 - y1) / (x2 - x1)
                    slope_counts[slope] = slope_counts.get(slope, 0) + 1
    for slope, count in slope_counts.items():
        if slope == float('inf'):
            continue
        count += slope_counts.get(-1/slope, 0)  # 处理斜率相反的点对数
        print(f"Slope: {slope}, Count: {count}")
        count *= 2  # 注意要乘以2，因为是有序点对
        count += slope_counts.get(float('inf'), 0)  # 处理斜率为无穷的点对数
        if slope == 0:
            count -= 1  # 注意要减去一个点本身和自己匹配的情况
        count //= 2  # 因为是有序点对，所以要除以2
        print(f"Slope: {slope}, Count: {count}")
    return count

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度也为 $O(n^2)$，但常数比较小，可以通过本题。