3D直线方程

在三维空间中，一条直线可以用参数方程表示，也可以用点向式方程和标准式方程表示。下面将分别介绍这三种表示方法。

参数方程

一条直线在三维空间中的参数方程可以用以下形式表示：

$$ \begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct \ \end{cases} $$

其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上的任意一点，$a,b,c$ 是方向向量的 $x,y,z$ 分量，$t$ 是参数，可以取任何实数。

用程序实现这条直线可以使用以下代码：

class Line3D:
    def __init__(self, point, direction):
        self.point = point
        self.direction = direction

    def get_point(self, t):
        x = self.point[0] + self.direction[0] * t
        y = self.point[1] + self.direction[1] * t
        z = self.point[2] + self.direction[2] * t
        return (x, y, z)

点向式方程

一个向量 $\vec{v}$ 可以表示一条直线的方向。给定一条直线上的一个点 $P$，则该直线的点向式方程可以用以下形式表示：

$$ \vec{r} = \vec{a} + t\vec{v} $$

其中 $\vec{r}$ 是直线上的任意一点，$\vec{a}$ 是已知点 $P$，$t$ 是参数，可以取任何实数。

用程序实现这条直线可以使用以下代码：

class Line3D:
    def __init__(self, point, direction):
        self.point = point
        self.direction = direction

    def get_point(self, t):
        x = self.point[0] + self.direction[0] * t
        y = self.point[1] + self.direction[1] * t
        z = self.point[2] + self.direction[2] * t
        return (x, y, z)

    def get_direction(self):
        return self.direction

    def dot_product(self, other):
        return self.get_direction()[0] * other[0] + self.get_direction()[1] * other[1] + self.get_direction()[2] * other[2]

    def get_normal_vector(self, point):
        return (point[0] - self.point[0], point[1] - self.point[1], point[2] - self.point[2])

    def is_parallel(self, other):
        return self.get_direction()[0] * other.get_direction()[1] == self.get_direction()[1] * other.get_direction()[0] and self.get_direction()[0] * other.get_direction()[2] == self.get_direction()[2] * other.get_direction()[0] and self.get_direction()[1] * other.get_direction()[2] == self.get_direction()[2] * other.get_direction()[1]

    def is_intersection(self, other):
        n1 = self.get_direction()
        n2 = other.get_direction()
        if self.is_parallel(other):
            return False

        n1xn2 = (n1[1] * n2[2] - n1[2] * n2[1], n1[2] * n2[0] - n1[0] * n2[2], n1[0] * n2[1] - n1[1] * n2[0])

        d1 = self.dot_product(n1xn2)
        d2 = other.dot_product(n1xn2)

        p1 = self.get_point(-d1 / (n1[0] ** 2 + n1[1] ** 2 + n1[2] ** 2))
        p2 = other.get_point(-d2 / (n2[0] ** 2 + n2[1] ** 2 + n2[2] ** 2))

        return p1 == p2

标准式方程

一条直线在三维空间中的标准式方程可以用以下形式表示：

$$ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} $$

其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上的任意一点，$a,b,c$ 是方向向量的 $x,y,z$ 分量。

用程序实现这条直线可以使用以下代码：

class Line3D:
    def __init__(self, point, direction):
        self.point = point
        self.direction = direction

    def get_point(self, t):
        x = self.point[0] + self.direction[0] * t
        y = self.point[1] + self.direction[1] * t
        z = self.point[2] + self.direction[2] * t
        return (x, y, z)

    def get_direction(self):
        return self.direction

    def to_standard_form(self):
        x, y, z = symbols('x y z')
        a, b, c = self.direction
        x0, y0, z0 = self.point
        eq1 = Eq((x - x0) / a, (y - y0) / b)
        eq2 = Eq((y - y0) / b, (z - z0) / c)
        return eq1, eq2

    def from_standard_form(self, eqs):
        x, y, z = symbols('x y z')
        eq1, eq2 = eqs
        a, b, c = solve([eq1, eq2], (x, y, z))
        return self.get_point(a[x]), self.get_direction()

以上代码实现了一个三维空间中的直线类，包含了参数方程、点向式方程和标准式方程的实现。