3D 直线方程

我们都知道非常流行的直线Y = m 方程。 X+C其中平面中的一条直线。但在这里我们将讨论 3 维空间中的直线方程。如果一条直线通过两个独特的点，或者它在一个确定的方向上通过一个独特的点，则它具有独特的特征。在三维几何中，线（直线）通常以笛卡尔形式和向量形式两种形式表示。在这里，我们将讨论两点形式 使用笛卡尔和向量形式的 3 维直线。

笛卡尔形式的直线方程

为了以笛卡尔形式编写直线方程，我们需要直线通过的至少两个点的坐标。假设(x ₁ , y ₁ , z ₁ )和 (x ₂ , y ₂ , z ₂ )是线所经过的3维空间中两个不动点的位置坐标。

现在要获得方程，我们必须遵循以下三个步骤：

• 步骤1：通过取两个给定点的对应位置坐标的差来找到DR（方向比）。 l = (x ₂ – x ₁ ), m = (y ₂ – y ₁ ), n = (z ₂ – z ₁ );这里l, m, n是 DR。
• 第 2 步：选择两个给定点中的任何一个说，我们选择 (x ₁ , y ₁ , z ₁ )。
• 第三步：写出通过点的直线的所需方程 (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) 和 (x ₂ , y ₂ , z ₂ )。 L : (x – x ₁ )/l = (y – y ₁ )/m = (z – z ₁ )/n

其中(x, y, z)是位于直线上的任意变量点的位置坐标。

例1：如果一条直线经过3维坐标系P(2,3,5)和Q(4,6,12)的两个不动点，则其笛卡尔方程采用两点形式是（谁）给的

解决方案：

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Choosing the point P (2, 3, 5)

The required equation of the line

L : (x – 2) / 2 = (y – 3) /  3 = (z – 5) / 7

例 2：如果一条直线经过 3 维坐标系 A (2, -1, 3) 和 B (4, 2, 1) 的两个固定点，那么它的笛卡尔方程使用两点表格由下式给出

解决方案：

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Choosing the point A (2, -1, 3)

The required equation of the line

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) /  3 = (z – 3) / -2 or

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) /  3 = (3 – z) / 2

示例 3：如果一条直线通过位置坐标为 X (2, 3, 4) 和 Y (5, 3, 10) 的 3 维中的两个固定点，则其笛卡尔方程使用两点形式是（谁）给的

解决方案：

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Choosing the point X (2, 3, 4)

The required equation of the line

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) /  0 = (z – 4) / 6 or

L : (x – 2) / 1 = (y – 3) /  0 = (z – 4) / 2

向量形式的直线方程

为了以向量形式编写直线方程，我们需要直线通过的至少两个点的位置向量。比方说${\vec {a}}$ 和${\vec {n}}$是直线经过的 3 维空间中两个固定点的位置向量。

现在要获得方程，我们必须遵循以下三个步骤：

• 第一步：通过减去两个给定点的对应位置向量，找到一个平行于直线的向量。 ${\vec {p}}$ = ( ${\vec {b}}-{\vec {a}}$ );这里${\vec {p}}$是平行于直线的向量。
• 第2步：选择我们选择的两个给定点中的任何一个的位置向量 ${\vec {a}}$ .
• 步骤 3：写出通过位置向量为的点的直线的所需方程 ${\vec {a}}$ 和 ${\vec {b}}$ .大号： ${\vec {r}}$ = ${\vec {a}}$ + 吨。 ${\vec {p}}$要么${\vec {r}}$ = ${\vec {a}}$ + 吨。 ( ${\vec {b}}-{\vec {a}}$ )

在哪里${\vec {r}}$ 是位于直线上的任意可变点的位置向量， t是用于唯一定位直线上任意点的参数。

示例 1：如果一条直线通过 3 维中两个固定点，其位置向量分别为 (2 i + 3 j + 5 k) 和 (4 i + 6 j + 12 k)，则其向量方程使用两点形式由下式给出

解决方案：

${\vec {p}}$ = (4 i + 6 j + 12 k) – (2 i + 3 j + 5 k)

${\vec {p}}$ = (2 i + 3 j + 7 k) ; Here ${\vec {p}}$ is a vector parallel to the straight line

Choosing the position vector (2 i + 3 j + 5 k)

The required equation of the straight line

L : ${\vec {r}}$ = (2 i + 3 j + 5 k) + t . (2 i + 3 j + 7 k)

例 2：如果一条直线经过 3 维空间中位置坐标为 (3, 4, -7) 和 (1, -1, 6) 的两个不动点，则其向量方程使用两点表格由下式给出

解决方案：

Position vectors of the given points will be (3 i + 4 j – 7 k) and (i – j + 6 k)

${\vec {p}}$ = (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

${\vec {p}}$ = (2 i + 5 j – 13 k) ; Here ${\vec {p}}$ is a vector parallel to the straight line

Choosing the position vector (i – j + 6 k)

The required equation of the straight line

L : ${\vec {r}}$ = (i – j + 6 k) + t . (2 i + 5 j – 13 k)

示例 3：如果一条直线通过 3 维中的两个固定点，其位置向量分别为 (5 i + 3 j + 7 k) 和 (2 i + j – 3 k)，则其向量方程使用这两个点形式由下式给出

解决方案：

${\vec {p}}$ = (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

${\vec {p}}$ = (3 i + 2 j + 10 k) ; Here ${\vec {p}}$ is a vector parallel to the straight line

Choosing the position vector (2 i + j – 3 k)

The required equation of the straight line

L : ${\vec {r}}$ = (2 i + j – 3 k) + t . (2 i + 3 j + 7 k)