门 | GATE 2017 MOCK II | 问题28

题目描述

给定一个有向图，在图中寻找一条从源节点到目标节点的路径，要求路径上经过的边权值的乘积最大。边权值为正整数。

解题思路

本题可以使用动态规划算法解决。具体来说，我们可以维护一个二维的数组 dp[i][j]，其中 dp[i][j] 表示从源节点到节点 i 经过至多 j 条边的路径上的最大乘积。于是我们可以得到下面的状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[u][j-1] * w(u,i), dp[i][j-1])

其中 u 为节点 i 的前驱节点，w(u,i) 表示从节点 u 到节点 i 的边的权值。这个方程的意思就是，要求从源节点到节点 i 经过至多 j 条边的路径上的最大乘积，我们可以考虑两种情况：从源节点到节点 u 经过至多 j-1 条边，然后从节点 u 到节点 i 经过一条边；或者不经过从源节点到节点 i 的路径上至多 j 条边，直接从源节点到节点 i 经过至多 j-1 条边。这两种情况取最大值即可。

最终的答案就是 dp[target][k]，其中 target 是目标节点，k 是指定的最大边数。

代码实现

下面是本题的 Python 代码实现，时间复杂度为 $O(n^2k)$。

def max_path_product(graph, source, target, k):
    n = len(graph)
    dp = [[0] * (k + 1) for i in range(n)]
    dp[source][0] = 1

    for j in range(1, k + 1):
        for i in range(n):
            dp[i][j] = dp[i][j-1]
            for u in graph[i]:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[u][j-1] * graph[u][i])

    return dp[target][k] if dp[target][k] != 0 else -1

其中 graph 表示图的邻接矩阵，source 是源节点的下标，target 是目标节点的下标，k 是指定的最大边数。如果找不到从源节点到目标节点的路径，则返回 -1。