门 GATE 2017 MOCK II 问题5

该问题是 GATE 2017 MOCK II 的第5个问题，涉及到算法和数据结构方面的知识。

问题描述

题目要求求出一个长度为 N 的整数序列中的最长严格递增子序列的长度。

例如，对于长度为 5 的整数序列：[0, 8, 4, 12, 2]，最长严格递增子序列为 [0, 4, 12]，长度为 3。

解题思路

这是经典的动态规划问题，可以使用动态规划算法求解。

具体步骤如下：

1. 定义一个状态数组 dp，其中 dp[i] 表示以 a[i] 结尾的最长严格递增子序列的长度。
2. 初始化 dp 数组，将每个元素的值置为 1，因为一个元素本身就是一个长度为 1 的严格递增子序列。
3. 从前往后遍历整个数组 a，对于每个元素 a[i]，再次从前往后遍历它之前的所有元素 a[j]，如果 a[i] 大于 a[j]，则说明以 a[j] 结尾的最长严格递增子序列可以在末尾加上 a[i] 形成一个更长的递增子序列，此时更新 dp[i] 的值为 dp[j] + 1。
4. 最终 dp 数组的最大值就是整个序列的最长严格递增子序列的长度。

例如，对于长度为 5 的整数序列：[0, 8, 4, 12, 2]，使用动态规划算法可以得到 dp 数组为 [1, 2, 1, 3, 1]，最大值为 3，即最长严格递增子序列为 [0, 4, 12]，长度为 3。

以下是 Python 代码实现：

def longest_increasing_subsequence(a):
    n = len(a)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if a[i] > a[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

a = [0, 8, 4, 12, 2]
print(longest_increasing_subsequence(a))  # 输出3

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$。还有一些更优秀的算法可以将时间复杂度降到 $O(n \log n)$，例如 Patience sorting 算法和 Morris-Pratt 算法，但不在本篇介绍的范围内。

总结

本文介绍了如何使用动态规划算法求解一个整数序列的最长严格递增子序列长度。动态规划是解决一类复杂问题的有效方法，值得程序员们深入学习。