门| GATE 2017 MOCK II |问题 5

这道问题涉及到图论中的最小生成树问题。在这个问题中，我们需要从给定的一些城镇中选择一些城镇作为大学的地址。每个城镇都有一个指定的费用和一个规定的学生数。选定的城镇的学生数必须至少为k。一个城镇的费用是由所有与这个城镇相连的道路的费用之和计算的。

我们可以通过利用Prim算法来解决这个问题。Prim算法从一个起始顶点开始构建树，每次选取与树相邻的最小边，直到树中包含所有顶点。基本上，这个算法解决的问题是找到一个图的最小生成树。在这个问题中，我们可以修改Prim算法，以仅添加连接到已选择的城镇的边。在这个算法中，我们需要维护一个集合，其中包含已经选择的城镇。我们需要保持这个集合的大小始终不小于k。当我们选择一个新城镇时，如果选择它的边的费用总和大于预算b，我们可以返回答案（因为此时我们无法选择更多的城镇了）。如果我们选择的城镇数等于k，我们就可以在其中选择费用最小的城镇。

基于上述算法，我们可以使用以下的python代码来解决此问题：

def get_cost(x, y):
    """
    获取城镇x和y之间的道路费用
    """
    #代码

def select_colleges(n, k, b, cost, num_students):
    """
    在城镇中选择一个大学
    :param n: 城镇数量
    :param k: 要求包含的城镇数量
    :param b: 预算
    :param cost: 费用矩阵
    :param num_students: 学生数量矩阵
    :return: 
    """
    selected_cities = []
    min_cost_cities = []
    min_cost = float('inf')

    # 选择起始城镇（任意城镇都可以）
    start_city = 0
    selected_cities.append(start_city)

    while len(selected_cities) < k:
        min_city = None
        min_cost = float('inf')
        for i in range(n):
            if i in selected_cities:
                continue
            # 计算新城市与已选择城市中最小费用的城市之间的费用
            for j in selected_cities:
                if i == j:
                    continue
                city_cost = get_cost(i, j)
                if city_cost < min_cost:
                    min_cost = city_cost
                    min_city = i
        # 如果选择的新城镇的费用总和超过预算，就返回答案
        if min_cost > b:
            break
        # 将新城镇添加到已选择的城市中
        selected_cities.append(min_city)

    # 从已选择的城市中选择费用最小的城市
    for c in selected_cities:
        if num_students[c] >= k and cost[c] < min_cost:
            min_cost_cities = [c]
            min_cost = cost[c]
        elif num_students[c] >= k and cost[c] == min_cost:
            min_cost_cities.append(c)
    if min_cost == float('inf'):
        return -1
    return min_cost_cities

在上面的代码示例中，函数'get_cost'将矩阵中的连接城镇的道路费用返回为城镇x和y之间的元素。函数'select_colleges'接受矩阵中的费用和学生数，并从中选择包含至少k个城镇的城镇来建立大学。如果建大学所需的费用超过预算，则返回-1。否则，函数将返回一个包含所需的城镇的最小费用集合。