门| GATE 2017 MOCK II |问题9 题解

题目描述

给定两个有序数组a1和a2，大小分别为n和m。设计一个O(log n + log m)时间复杂度的算法，找出这两个数组合并后的中位数。

解题思路

首先，根据求中位数的性质，我们可以将问题转化为求第k小的数，其中k为两个数组长度之和的中位数。

然后，我们可以通过二分查找的方式进行求解。具体来说，我们先取两个数组各自的中位数，将它们合并成一个有序数组。接着，如果这个有序数组的长度为奇数，我们可以直接返回中间的数；如果是偶数，则我们需要返回中间两个数的平均数。

如果这个中位数的值大于等于k，那么我们需要在两个数组各自的左半部分中查找，反之则在右半部分中查找。在查找时，我们可以比较两个数组所有左半部分的最大值和右半部分的最小值，来判断应该插入哪一半。

最后，当我们在一个数组中找到了第k小的数，那么我们只需要将它和另一个数组对应位置上的数进行比较，即可得到合并后的第k小的数。

代码实现

def find_median_sorted_arrays(nums1, nums2):
    n = len(nums1)
    m = len(nums2)
    if n > m:
        nums1, nums2, n, m = nums2, nums1, m, n
    if m == 0:
        raise ValueError

    median_idx = (n + m - 1) // 2
    lidx, ridx = 0, n

    while lidx < ridx:
        i = (lidx + ridx) // 2
        j = median_idx - i
        if i < n and nums2[j-1] > nums1[i]:
            lidx = i + 1
        elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]:
            ridx = i - 1
        else:
            break

    if i == n:
        med_right = nums2[j]
    elif j == m:
        med_right = nums1[i]
    else:
        med_right = min(nums1[i], nums2[j])

    if (n + m) % 2 == 1:
        return med_right

    if i == 0:
        med_left = nums2[j-1]
    elif j == 0:
        med_left = nums1[i-1]
    else:
        med_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])

    return (med_left + med_right) / 2

性能分析

• 时间复杂度：$O(log(n) + log(m))$
• 空间复杂度：$O(1)$

我们使用二分查找的方式，将搜索空间每次缩小一半，因此时间复杂度为$O(log(n) + log(m))$。而由于我们只使用了常数级别的额外空间，因此空间复杂度为$O(1)$。