在增加最多 K 个元素后最大化数组总和，然后将数组除以 X

问题描述

给定一个长度为 $N$ 的整数数组 $A$，你可以向其中添加最多 $K$ 个元素，使得数组中的任意两个相邻元素的差值不超过 $1$。你需要通过添加这些元素使得数组总和最大化，然后将数组中的每个元素都除以 $X$，最后输出结果。

解题思路

题目中要求相邻元素之间的差值不超过 $1$，因此我们可以先将数组中的元素排个序，然后依次枚举数组中每个元素 $a_i$，然后在其前面添加若干个元素 $a_{i-1} - 1,a_{i-1} - 2,\cdots,a_{i} - 1$，或者在其后面添加若干个元素 $a_{i+1} + 1,a_{i+1} + 2,\cdots,a_{i} + 1$，使得添加后的数组总和最大。

在添加元素的过程中，我们可以使用一个优先队列来维护当前数组中的最小值和次小值，从而使得添加元素的操作更加高效。

最后，我们将每个元素都除以 $X$，得到最终结果。注意，题目中并未要求输出结果保留小数点后 $k$ 位，因此不需要对结果进行任何取整操作。

算法实现

from heapq import heappush, heappop

def maximize_array_sum(A, K, X):
    A.sort()
    pq = []
    ans = 0
    for i in range(len(A)):
        while len(pq) > 0 and pq[0] < A[i]:
            ans += pq[0]
            heappop(pq)
        if len(pq) < K:
            heappush(pq, A[i] - 1)
    while len(pq) > 0:
        ans += pq[0]
        heappop(pq)
    return [a / X for a in A]   

算法分析

时间复杂度：$O(N\log N)$，其中 $N$ 为数组长度。排序的时间复杂度为 $O(N\log N)$，添加元素的操作最多需要 $O(N\log K)$ 的时间，因为队列中最多只会有 $K$ 个元素。最终遍历数组的时间复杂度为 $O(N)$。因此总时间复杂度为 $O(N\log N)$。

空间复杂度：$O(K)$。使用一个优先队列来维护当前数组中的最小值和次小值，因此空间复杂度为 $O(K)$。

总结

这道题目涉及到了排序和优先队列的应用，同时还需要适当地处理小数点的问题。通过这道题目，我们不仅巩固了基本的数据结构和算法知识，还提升了一些实际编程能力。