通过选择K个数组元素，然后将它们减1，可以最大程度地增加总和

在这个问题中，我们需要从给定的数组中选择K个元素，每个元素减去1，以使总和最大化。这个问题可以用贪心算法来解决。

贪心算法

贪心算法是一种基于贪心思想的算法，在每一步选择中都选择最优解，从而使最后得到的解为全局最优解。在这个问题中，我们可以按照以下步骤来选择元素：

1. 对数组进行排序，按照从小到大的顺序排序；
2. 选择前K个元素，并将它们都减1；
3. 计算减去1后的所有元素的总和。

这个贪心算法的时间复杂度为O(NlogN)，其中N是数组的长度。

以下是一个用Python实现的代码片段：

def max_sum(arr, k):
    arr.sort()
    for i in range(k):
        arr[i] -= 1
    return sum(arr)

arr = [1, 3, 2, 5, 4]
k = 3
print(max_sum(arr, k))

在这个代码片段中， max_sum 函数接受一个数组和一个整数 k 作为输入，它对数组进行排序，选择前K个元素并减1，然后计算减1后的所有元素的总和，并返回这个总和。

复杂度分析

时间复杂度：贪心算法的时间复杂度为O(NlogN)，其中N是数组的长度，主要时间是在排序上。 空间复杂度：贪心算法的空间复杂度为O(1)，没有额外的空间使用。

总结

贪心算法是一种简单而高效的算法，可以解决一些优化问题。在这个问题中，我们用贪心算法选择了前K个最小的元素，并将它们减去1，以最大化总和。