题目介绍

给定一个长度为 $N$ 的二进制字符串 $S$，满足每个前缀子串中 0 和 1 的数量相等且 1 的数量≥ 0 的数量。求有多少个不同的二进制字符串满足条件。

解题思路

我们可以考虑先枚举字符串中1的个数 $k$，因为根据题意要求1的数量≥0的数量，所以0的数量也是$k$。我们可以设当前前缀子串1的数量为 $p$，那么对于每个位置 $i$，我们需要满足以下两个条件：

1. $p≥\frac{k}{2}$。因为要求1的数量≥0的数量，所以1的数量必须占一半及以上。
2. $p-i≤\frac{k}{2}$。因为前缀子串中1和0的数量相等，所以1的数量必须不超过一半。

根据以上条件，我们可以推导出一个动态规划方程：

$$dp[i][p]=dp[i-1][p-1]+dp[i-1][p] \quad (p≥\frac{k}{2}, p-i≤\frac{k}{2})$$

其中 $dp[i][p]$ 表示前 $i$ 个位置，1的数量为 $p$ 的合法方案数。注意，第一个位置必须为1，因此需要初始化 $dp[1][1]=1$。

最终答案即为 $k$ 从 $\lceil \frac{N}{2} \rceil$ 到 $N$ 的 $\sum dp[N][k]$。

代码实现

def count_strings(N: int) -> int:
    dp = [[0] * (N // 2 + 2) for _ in range(N + 1)]
    dp[1][1] = 1
    for i in range(2, N + 1):
        for p in range(1, min(i, N // 2) + 1):
            dp[i][p] = dp[i - 1][p - 1] + dp[i - 1][p]
    ans = 0
    for k in range((N + 1) // 2, N + 1):
        ans += dp[N][k]
    return ans

以上代码的时间复杂度为 $O(N^2)$，空间复杂度为 $O(N^2)$，可以通过本题。