每个前缀子串中 0 和 1 的数量相等且 1 的数量≥ 0 的数量的长度为 N 的二进制字符串的计数

这是一道典型的动态规划问题。我们可以定义状态 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个字符中有 $j$ 个 1 的所有合法字符串数。状态转移方程为：

$$f[i][j] = \begin{cases} f[i-1][j-1] + f[i-1][j+1] & (j > 0)\ f[i-1][j+1] + 1 & (j = 0) \end{cases}$$

其中第一种情况表示加入一个 '1'，则有 $j-1$ 个 '1'，$i-j-1$ 个 '0'，因此可以从 $f[i-1][j-1]$ 转移过来，并且可以从 $f[i-1][j+1]$ 转移过来。第二种情况表示加入一个 '0'，则有 $j+1$ 个 '1'，$i-j-1$ 个 '0'，因此只能从 $f[i-1][j+1]$ 转移过来，并且总数要再加上一个只有一个 '0' 的字符串。

最终答案为：

$$\sum\limits_{j=0}^{N/2} f[N][j]$$

其中 $N$ 为字符串的长度，因为只需要计算 1 的数量大于等于 0 的数量的情况。

以下是 Python 代码实现：

def count_binary_strings(n):
    f = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    f[1][0], f[1][1] = 1, 1
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(0, n+1):
            if j > 0:
                f[i][j] += f[i-1][j-1]
            f[i][j] += f[i-1][j+1]
            if j == 0:
                f[i][j] += 1
    ans = sum(f[n][:n//2+1])
    return ans

其中 f[i][j] 表示前 i 个字符中有 j 个 1 的所有合法字符串数，初始化 f[1][0], f[1][1] 分别为 1，表示只有一个字符的情况，第一个字符可以是 '0' 或 '1'，都是合法的。

总时间复杂度为 $O(N^2)$，可以通过本题。