N位数的计数，相邻位数的绝对差不超过K

什么是N位数？

N位数是指由N个数字组成的整数，例如1、23、456、7890等。

什么是相邻位数？

相邻位数是指在一个整数中相邻的两个数字，例如在整数1234中，1和2、2和3、3和4都是相邻的数字。

什么是绝对差？

绝对差是指两个数之间的差的绝对值，例如5和8之间的绝对差是3。

什么是K？

K是一个整数，表示相邻位数的绝对差不超过K。

问题描述

现在给定一个整数N和一个整数K，你需要编写一个程序，求出由N位数字组成的整数中，相邻位数的绝对差不超过K的整数的个数。

解决方案

我们可以使用动态规划来解决这个问题。

设f[i][j][0]表示长度为i，最高位为j，其中相邻位数的绝对差不超过K且最高位不为0的整数个数；f[i][j][1]表示长度为i，最高位为j，其中相邻位数的绝对差不超过K且最高位可以为0的整数个数。

根据题目条件，我们可以得到以下状态转移方程：

f[i][j][0] = Σf[i-1][j-d][1]，其中d∈[1,K]，j-d≥0

f[i][j][1] = Σf[i-1][j-d][1]，其中d∈[0,K]，j-d≥0

最终的答案就是Σf[N][i][0]+f[N][i][1]，其中i∈[1,9]。

下面是以Python实现的代码片段：

n = int(input())
k = int(input())
f = [[[0] * 2 for j in range(10)] for i in range(n+1)]
for i in range(1, 10):
    f[1][i][0] = 1
    f[1][i][1] = 1
for i in range(2, n+1):
    for j in range(10):
        for d in range(1, k+1):
            if j-d >= 0:
                f[i][j][0] += f[i-1][j-d][1]
        for d in range(0, k+1):
            if j-d >= 0:
                f[i][j][1] += f[i-1][j-d][1]
            else:
                f[i][j][1] += f[i-1][10+j-d][1]
ans = 0
for i in range(1, 10):
    ans += f[n][i][0]
    ans += f[n][i][1]
print(ans)

性能分析

时间复杂度：$O(nk)$

空间复杂度：$O(nk)$

总结

本题是一个比较典型的动态规划问题，需要我们定义好状态，推导状态转移方程，然后根据状态转移方程填表求解最终结果。同时，我们还需要注意实现的细节，例如数组下标的取值范围等问题。