N位数的计数，相邻位数的绝对差不超过K

介绍

在这个问题中，我们需要找到大小为N的数字中，相邻两位数字之间的绝对差不超过K的数字数量。例如，N=2,K=1时，答案为10（00,01,10,11,12,21,22,23,32,33）。

这个问题可以通过计算所有可能的数字并检查它们是否满足条件来解决。但是，这个方法可能会消耗大量时间和内存，因此我们需要一种更高效的方法。

解决方案

我们可以使用动态规划来解决这个问题。我们可以定义f(i,j)为从最高位开始，前i位数字为j的数字数量。因此，我们需要计算f(N,d)的值，其中d是最高位数字（在1到9之间）。

我们可以使用递推的方法计算f(i,j)的值：

f(i,j) = 1, (i=1)
f(i,j) = ∑ f(i-1,k), (1≤k≤j，j-k≤K，i>1) 

这意味着，f(i,j)是由前一个位置的所有数字的f值的总和得出的。同时，前一个数字k必须满足j-k≤K，以保证相邻数字的差不超过K。

当我们计算完f(N,1)到f(N,9)的值后，我们可以将它们相加，并得到最终答案。

代码实现

def count_nums(n, k):
    dp = [[0]*10 for _ in range(n+1)]
    for i in range(10):
        dp[1][i] = 1
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(10):
            for t in range(j-k, j+k+1):
                if t>=0 and t<=9:
                    dp[i][j] += dp[i-1][t]
    return sum(dp[n])

测试样例

n = 2
k = 1
result = count_nums(n, k)
print(result) # 10

时间复杂度

该算法的时间复杂度为O(NK10)，其中N是数字的位数，K是相邻数字的最大差值。