在平均分配数组子集后，大于X的最大元素数

问题描述

给定一个整数数组 nums 和一个正整数 X，将数组平均分成若干个子数组，使得每个子数组的和大于 X。求最大的子数组中大于 X 的元素个数。

解法

首先，我们需要知道如何判断一个子数组的和是否大于 X。设 nums 的长度为 n，我们可以使用前缀和的方法预处理出数组的前缀和数组 sum，即 sum[i] 表示 nums 的前 i 个元素的和，那么 nums 的任意子数组 [l,r] 的和就可以表示为 sum[r] - sum[l-1]。

接下来考虑如何平均分配数组。假设将 nums 平均分成 k 个子数组，则每个子数组的长度为 n/k（向下取整）。那么我们可以枚举每个子数组的左端点 l，计算出右端点 r = l + n/k - 1，这个子数组的和就是 sum[r] - sum[l-1]。如果这个子数组的和大于 X，那么这里就有可能存在大于 X 的元素。我们可以使用单调队列维护这些可能的元素，具体做法是：每次遇到一个元素，就将队列中小于等于它的元素弹出，然后将它压入队列中，这样队列中的元素就是单调递减的。如果队列的头部所对应的元素大于 X，那么这个子数组就存在大于 X 的元素。

求出每个子数组的大于 X 的元素个数之后，从中选择一个最大值作为答案即可。

在实现单调队列时，可以使用双指针来避免不必要的队列操作，具体做法是将队列中的下标从小到大排序，然后使用指针 l 和 r 分别指向队列的首尾。每次需要将新元素添加到队尾时，先将队列尾部的下标弹出，直到队列为空或者队列尾部的元素大于等于新元素。同样，每次需要弹出队列头部的元素时，可以使用指针 l 来记录当前头部元素的下标，然后将队列头部的下标向右移动一个位置。这样可以保证队列中的下标从小到大排序，同时避免了逐个移动元素的操作。

代码实现

from collections import deque

def max_count_greater_than_x(nums, X):
    n = len(nums)
    sum = [0] * (n + 1)
    for i in range(n):
        sum[i+1] = sum[i] + nums[i]
    max_count = 0
    for k in range(1, n+1):
        if sum[n] % k != 0:
            continue
        target = sum[n] // k
        count = 0
        q = deque()
        for i in range(1, n+1):
            if i - k*(count+1) > 0:
                xi = sum[i-k*(count+1)] - target*(count+1)
                while q and q[0][1] < i:
                    q.popleft()
                while q and q[-1][0] <= xi:
                    q.pop()
                q.append((xi, i-k))
                count += 1
            xi = sum[i] - target*count
            while q and q[0][1] < i:
                q.popleft()
            while q and q[-1][0] <= xi:
                q.pop()
            q.append((xi, i))
            if q[0][0] > X:
                max_count = max(max_count, i - q[0][1])
    return max_count

参考文献

• LeetCode 1552. 面试题 17.21. 直方图的水量 II