大于K的元素大于不大于K的元素的最长子数组的长度

问题背景

给定一个由正整数构成的数组，求其中大于某个给定数K的元素数量大于等于不大于K的元素数量的最长子数组长度。

例如，对于数组[2,3,5,4,1,6,7,8,9,k=5]，其最长的符合要求的子数组是[2,3,5,4,1,6,7,8,9]，长度为9。

解法思路

我们可以在给定数组的基础上，构建两个辅助数组garray, larray，其中garray[i]表示从i开始往后大于K的元素数量，larray[i]表示从i开始往后不大于K的元素数量。

从数组的某一位置i开始，我们需要找到一个位置j，使得garray[i]-garray[j-1]大于等于larray[i]-larray[j-1]，且j-i最大。

这个问题可以通过枚举i和j来解决，时间复杂度为O(n^2)。但更为高效的做法是使用两个单调队列来优化枚举过程。

首先，我们从前往后遍历数组，计算每个元素的garray和larray值。对于garray，我们需要记录每个位置最远的比它大的元素位置，也就是右侧第一个大于它的元素，这可以通过单调递减的队列来实现。对于larray，我们需要记录每个位置最远的比它小或相等的元素位置，也就是右侧第一个小于或等于它的元素，这可以通过单调递增的队列来实现。

接下来，我们从前往后扫描数组，同时维护两个单调队列。假设当前扫描到的元素位置为i，我们需要找到一个位置j，使得garray[i]-garray[j-1]大于等于larray[i]-larray[j-1]，且j-i最大。我们可以通过维护两个单调队列来实现这一过程。

具体来说，我们首先在单调递增队列中查找位置j，满足larray[j-1] >= larray[i]。这是因为我们需要找一个尽可能靠右的j，使得larray[i]-larray[j-1]最大，因此我们可以从右往左查找满足要求的j。如果单调队列为空，则说明不存在满足条件的j，此时j=i。

接着，我们在单调递减队列中查找位置k，满足garray[k-1] >= garray[j-1]，也就是右侧第一个大于它的元素不比j的右侧第一个大于它的元素更远。这是因为我们需要找一个尽可能靠左的k，使得garray[i]-garray[k-1]最大，因此我们可以从右往左查找满足要求的k。如果单调队列为空，则说明不存在满足条件的k，此时k=j。

最后，我们可以计算子数组长度为i-j+1，比较所有满足条件的长度，取最大值即可。

复杂度分析

由于每个元素至多进队一次，出队一次，因此队列的复杂度为O(n)。因此，整个算法的时间复杂度为O(n)。

代码实现

以下是使用Python 3实现的代码：

def max_subarray_length(arr, k):
    n = len(arr)

    # 计算garray和larray
    garray = [0] * n
    larray = [0] * n
    gstack = []  # 单调递减
    lstack = []  # 单调递增
    for i in range(n-1, -1, -1):
        while gstack and arr[i] >= arr[gstack[-1]]:
            gstack.pop()
        while lstack and arr[i] < arr[lstack[-1]]:
            lstack.pop()
        garray[i] = gstack[-1] + 1 if gstack else n
        larray[i] = lstack[-1] + 1 if lstack else n
        gstack.append(i)
        lstack.append(i)

    # 查找最长的子数组长度
    j = 0
    max_len = 0
    for i in range(n):
        while j < n and garray[i] - garray[j-1] >= larray[i] - larray[j-1]:
            j += 1
        if j > 0 and garray[i] - garray[j-1] >= larray[i] - larray[j-1]:
            max_len = max(max_len, i-j+1)

    return max_len

参考文献

• LeetCode 862. Shortest Subarray with Sum at Least K