第N个XOR斐波那契数

XOR斐波那契数列是一种以0和1为起始值，每一项是前两项的异或值的数列。该数列的前几项为：0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...

本文主要介绍如何计算第N个XOR斐波那契数。

方法一：递归

由定义可知，第N个XOR斐波那契数等于第(N-1)个和(N-2)个XOR的结果。因此，我们可以使用递归的方法来计算第N个XOR斐波那契数。

def xor_fibonacci(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1 or n == 2:
        return 1
    else:
        return xor_fibonacci(n-2) ^ xor_fibonacci(n-1)

时间复杂度为O(2^N)，很容易就会超时。因此，我们需要另寻他法。

方法二：矩阵快速幂法

在矩阵快速幂法中，我们需要将XOR斐波那契数列转化为一个矩阵，并使用矩阵快速幂算法求出矩阵的N次幂。最后，我们只需要取出结果矩阵的(1,2)或(2,2)元素即可得到第N个XOR斐波那契数。

定义矩阵：

$$ \begin{bmatrix} 0 & 1\ 1 & 1\ \end{bmatrix} $$

则第N个XOR斐波那契数为：

$$ \begin{bmatrix} 0 & 1\ 1 & 1\ \end{bmatrix}^{N-1} \begin{bmatrix} 0\ 1\ \end{bmatrix} $$

代码实现如下：

def xor_fibonacci(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1 or n == 2:
        return 1
    else:
        mat = [
            [0, 1],
            [1, 1]
        ]
        res = pow_mat(mat, n-1)
        return res[1][0] ^ res[1][1]


def pow_mat(a, n):
    if n == 1:
        return a
    elif n == 2:
        return mat_mul(a, a)
    else:
        b = pow_mat(a, n//2)
        if n % 2 == 0:
            return mat_mul(b, b)
        else:
            return mat_mul(a, mat_mul(b, b))


def mat_mul(a, b):
    c = [[0]*len(b[0]) for _ in range(len(a))]
    for i in range(len(a)):
        for j in range(len(b[0])):
            for k in range(len(b)):
                c[i][j] ^= a[i][k] & b[k][j]
    return c

时间复杂度为O(logN)。

总结

本文介绍了两种求解第N个XOR斐波那契数的方法，递归和矩阵快速幂法。递归方法容易导致时间复杂度过高，而矩阵快速幂法则能够在较短时间内求得结果，更适合实际应用。