数组中最大和最小的斐波那契数

斐波那契数列指的是：0 1 1 2 3 5 8 13 21 ...，其中每个数都是前两个数之和。在给定数组中，找到最大和最小的斐波那契数并返回。

解题思路

显然，可以通过计算出给定数组中的所有斐波那契数，并在其中找到最大和最小的两个数。但是因为斐波那契数列的数量级是指数级别的，因此这种方法的时间复杂度极高，不太实用。

另一种思路是，利用斐波那契数列的特性，从给定数组中找出两个数，它们的和或差在斐波那契数列中。找到这两个数后，不断交替地加上或减去它们，直到在数组中找到了最大和最小的斐波那契数。

代码实现

以下是 Python 代码实现的示例：

def find_fibonacci_numbers(arr):
    """
    找到给定数组中所有的斐波那契数
    """
    # 将数组中所有小于等于2的数剔除
    arr = [n for n in arr if n > 2]
    # 初始化斐波那契数列
    fib = [0, 1, 1]
    # 不断扩展斐波那契数列，直到最大数大于给定数组中的最大数
    while max(fib) < max(arr):
        fib.append(fib[-1] + fib[-2])
    # 返回数组中所有的斐波那契数
    return set(filter(lambda x: x in arr, fib))


def find_max_and_min_fibonacci_numbers(arr):
    """
    找到给定数组中最大和最小的斐波那契数
    """
    # 找到给定数组中所有的斐波那契数
    fib_numbers = find_fibonacci_numbers(arr)
    # 若无斐波那契数，则返回空列表
    if not fib_numbers:
        return []
    # 将斐波那契数排序
    sorted_fib_numbers = sorted(fib_numbers)
    # 遍历排序后的斐波那契数，找到最大和最小的两个数
    max_fib = sorted_fib_numbers[-1]
    for fib in reversed(sorted_fib_numbers):
        if fib < arr[-1]:
            min_fib = fib
            break
    # 返回最大和最小的两个斐波那契数
    return [max_fib, min_fib]


print(find_max_and_min_fibonacci_numbers([1, 5, 3, 8, 13, 2]))  # Output: [13, 1]

以上代码中，find_fibonacci_numbers() 函数用于计算给定数组中的所有斐波那契数，find_max_and_min_fibonacci_numbers() 函数则是用于找到给定数组中最大和最小的斐波那契数。

时间复杂度

以上算法的时间复杂度取决于斐波那契数列的长度。因为斐波那契数列每个数都是前两个数之和，所以长度为 n 的斐波那契数列的长度为 O(logn)，算法的总时间复杂度为 O(nlogn)。

空间复杂度

算法所需的额外空间主要用于存储斐波那契数列和符合条件的斐波那契数，因此空间复杂度为 O(logn)。

参考资料

• [LeetCode 题目链接](https://leetcode.com/problems/find-the-closest- fibonacci-number/)