数组中 K 个最小和最大斐波那契数的总和和乘积

介绍

本题目要求在一个数组中，找出 K 个最小和最大的斐波那契数，并计算它们的总和和乘积。斐波那契数列是指以 0 和 1 开头，后面的项为前两项之和的数列。具体如下：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

为了方便起见，本题中规定，如果一个数不是斐波那契数列中的数，则不计入答案。

示例输入输出

示例 1

输入：

nums = [1, 7, 10, 8, 15]
k = 3

输出：

total_sum = 17
total_product = 56

说明：

在输入数组中，有以下斐波那契数：

1, 8, 13

其中，最小的三个是 1, 8, 10，它们的和是 19，乘积是 80。但因为 10 不是斐波那契数列中的数，所以最小的三个数实际上是 1, 8, 13，它们的和是 22，乘积是 104。因此，输出结果为 22 和 104。

示例 2

输入：

nums = [13, 7, 21, 8, 34, 1]
k = 4

输出：

total_sum = 55
total_product = 24048

说明：

在输入数组中，有以下斐波那契数：

1, 8, 13, 21, 34

其中，最大的四个是 34, 21, 13, 8，它们的和是 76，乘积是 764448。但因为 1 不是斐波那契数列中的数，所以最大的四个数实际上是 34, 21, 13, 8，它们的和是 76，乘积是 24048。因此，输出结果为 76 和 24048。

解题思路

1. 首先将所有斐波那契数放入一个集合中
2. 对于最小的 K 个数，我们可以通过桶排来完成。定义一个大小为斐波那契数列长度的桶数组，遍历原数组并将每个数出现的次数存储到桶数组对应下标的位置上。然后从桶数组的头部开始取 K 个数，直到取到了 K 个不是 0 的数为止。
3. 对于最大的 K 个数，我们也可以通过桶排来完成。定义一个大小为斐波那契数列长度的桶数组，遍历原数组并将每个数出现的次数存储到桶数组对应下标的位置上。然后从桶数组的尾部开始取 K 个数，直到取到了 K 个不是 0 的数为止。
4. 最后将最小的 K 个数的求和以及最大的 K 个数的求积计算出来即可。

代码实现

def fibonacci():
    """
    生成斐波那契数列
    """
    a, b = 0, 1
    while True:
        yield a
        a, b = b, a + b


def fibonacci_sum_product(nums, k):
    fib = set()
    for x in fibonacci():
        if x > 10**5:  # 只需考虑小于 10^5 的斐波那契数
            break
        fib.add(x)

    count = [0] * len(fib)
    for num in nums:
        if num in fib:
            count[list(fib).index(num)] += 1

    total_sum = 0
    for i in range(len(count)):
        for j in range(count[i]):
            total_sum += list(fib)[i]

    min_numbers = []
    for i in range(len(count)):
        for j in range(count[i]):
            min_numbers.append(list(fib)[i])
            if len(min_numbers) == k:
                return sum(min_numbers), None

    max_numbers = []
    for i in range(len(count) - 1, -1, -1):
        for j in range(count[i]):
            max_numbers.append(list(fib)[i])
            if len(max_numbers) == k:
                total_product = 1
                for x in max_numbers:
                    total_product *= x
                return None, total_product

    return None, None

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n\log n)$，其中 $n$ 表示数组的长度，需要遍历每个数，并对斐波那契数列做初始化和桶排，时间复杂度均为 $O(\log n)$。
• 空间复杂度：$O(\log n)$，需要保存斐波那契数列，空间复杂度为 $O(\log n)$。