门 | GATE 2017 MOCK II |问题 25

这是一个关于最短路径的问题。给定一个无向加权图，其中每个边都带有正权值，给定源节点和目标节点，求从源节点到目标节点的最短路径。但是，有些边有可能拥有额外的固定费用，这些费用会在任何情况下都要被支付。这些费用被认为是“门”和“钥匙”，也就是只有拥有相应的“钥匙”，才能够通过门进入。

以下是两种算法解决此问题：

Dijkstra算法

首先，我们尝试使用Dijkstra算法。对于没有门的边，可以直接使用Dijkstra算法找出最短路径。当算法遇到门时，需要将门所需的“钥匙”加入算法的状态。因此，算法的状态包括当前节点、当前路径的长度和已获得的钥匙。算法会根据当前路径长度和已获得的钥匙来生成唯一的状态。在访问由门保护的边时，算法必须检查是否拥有相应的“钥匙”。如果没有，它将无法通过门进入，并将路径的长度无限期地增加。否则，路径长度将加上门的花费。

该算法是基于贪心的，因此会对每个节点仅遍历一次，并且在找到目标节点时立刻停止。时间复杂度是$O(|E|log|V|)$，其中$|E|$和$|V|$分别表示图的边数和节点数。它也可以在优先队列上实现，以实现更高效的时间复杂度。

Bellman-Ford算法

我们还可以使用Bellman-Ford算法求解最短路径。在给定的加权图中，每个最短路径最多包含$|V|-1$ 条边。 Bellman-Ford算法遍历每条边$|V|-1$遍，以确保所有节点的最短路径都已经找到。在每次遍历中，算法将找到从源节点可以到达的最短路径。如果在第$|V|$遍遍历中仍然存在最短路径的改进，则证明存在负权环路，因此该算法将失效。

为了处理门，我们需要维护每个状态的信息，包括当前节点、当前路径长度、已获得的钥匙，以及最后一次穿过的门的类型。通过这些信息，我们可以在每个节点上维护一个解决方案，并在遍历每个节点时更新该解决方案。在具有固定费用的边上移动时，算法会检查当前状态是否拥有相应的“钥匙”。如果没有，算法会将花费视为无限制，并选择忽略该边。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为$O(|E||V|)$，因此对于较大的图而言，Dijkstra算法通常更有效。但是，Bellman-Ford算法可以处理具有负权边的情况，并且可以检测负权环路。

总结

这是一个关于最短路径问题的有趣变种。通过引入门和钥匙的概念，我们可以通过修改现有的最短路径算法来解决这个问题。 Dijkstra算法使用贪心策略，并且可以在优先队列上实现，使其具有较高的效率。 Bellman-Ford算法在处理具有负权边的情况时非常有用，并且可以检测到负权环路。选择哪种算法取决于具体的情况。