以正整数和负整数表示的最长交替子序列

在算法和数据结构中，最长交替子序列问题是一个常见的问题，其定义是在给定序列中，交替出现正整数和负整数的最长子序列的长度。

算法思路

最长交替子序列问题可以通过动态规划来求解。我们可以使用一个数组 dp 来记录截止到当前位置的最长交替子序列的长度。

当遍历到第 i 个元素时，我们需要判断当前元素是正整数还是负整数，分别对应两种情况：

• 若当前元素是正整数，则可以考虑将其添加到截止到前一个元素的最长交替子序列的末尾，也可以不添加。因此我们需要分别记录当前位置前最后一个负整数结尾的最长交替子序列长度 max_positive，以及当前位置前最后一个正整数结尾的最长交替子序列长度 max_negative。因此，我们可以得到如下状态转移方程：

  if nums[i] > 0:
      max_positive = dp[i-1][1]
      max_negative = dp[i-1][0]
  else:
      max_positive = dp[i-1][0]
      max_negative = dp[i-1][1]
  dp[i][0] = max(max_positive + 1 if nums[i] < 0 else max_positive, dp[i-1][0])
  dp[i][1] = max(max_negative + 1 if nums[i] > 0 else max_negative, dp[i-1][1])
  

• 若当前元素是负整数，则同样需要分别记录当前位置前最后一个负整数结尾的最长交替子序列长度 max_positive，以及最后一个正整数结尾的最长交替子序列长度 max_negative。与上面的情况相反，我们需要使用不同的转移方程：

  if nums[i] > 0:
      max_positive = dp[i-1][1]
      max_negative = dp[i-1][0]
  else:
      max_positive = dp[i-1][0]
      max_negative = dp[i-1][1]
  dp[i][0] = max(max_positive + 1 if nums[i] < 0 else max_positive, dp[i-1][0])
  dp[i][1] = max(max_negative + 1 if nums[i] > 0 else max_negative, dp[i-1][1])
  

最终，我们可以得到最长交替子序列的长度为 max(dp[-1])。

代码实现

下面是 Python3 中的代码实现：

def longest_alternating_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[1, 1] for _ in range(n)]
    for i in range(1, n):
        if nums[i] > 0:
            max_positive = dp[i-1][1]
            max_negative = dp[i-1][0]
        else:
            max_positive = dp[i-1][0]
            max_negative = dp[i-1][1]
        dp[i][0] = max(max_positive + 1 if nums[i] < 0 else max_positive, dp[i-1][0])
        dp[i][1] = max(max_negative + 1 if nums[i] > 0 else max_negative, dp[i-1][1])
    return max(dp[-1])

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$