最大和交替子序列

最大和交替子序列（Maximum Alternating Subsequence，简称MAS）是一种经典的算法问题，在数组中寻找一组交替递增、递减的序列，并且这组序列的和最大。

MAS 可以用于股票交易和金融分析，例如在投资中，寻找一个交替回报的序列可以帮助投资者进行交易决策，最大化回报。

问题描述

给定一个整数数组，寻找一组交替递增、递减的序列，并且这组序列的和最大。

例如，对于以下数组：

[1, 3, 2, 5, 7, 6, 4]

最大和交替子序列为 [1, 3, 2, 5, 4]，其和为 15。

解决方案

MAS 可以通过动态规划来解决，时间复杂度为 O(n^2)。

我们使用两个状态数组 inc 和 dec，其中 inc[i] 表示以 i 结尾的交替递增序列的最大和，dec[i] 表示以 i 结尾的交替递减序列的最大和。

初始化时，将所有元素都设置为 1，因为一个元素默认既可以属于递增序列，也可以属于递减序列。

然后我们遍历每个元素，尝试将其加入递增或递减子序列中，以求得最大和。

具体的状态转移方程如下：

inc[i] = max(inc[j] + nums[i] for j in range(i) if nums[i] < nums[j])
dec[i] = max(dec[j] + nums[i] for j in range(i) if nums[i] > nums[j])

遍历每个元素 nums[i]，如果其大于前面的元素 nums[j]，则将其加入递增序列中；如果小于前面的元素，则将其加入递减序列中。

最终的结果就是 max(inc[i], dec[i])。

代码示例

def maximum_alternating_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    inc = [1] * n
    dec = [1] * n

    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                inc[i] = max(inc[i], dec[j] + nums[i])
            elif nums[i] < nums[j]:
                dec[i] = max(dec[i], inc[j] + nums[i])

    return max(inc + dec) - 1  # 减去重复计算的元素

nums = [1, 3, 2, 5, 7, 6, 4]
print(maximum_alternating_subsequence(nums))  # 输出 15

代码中的 maximum_alternating_subsequence 函数接收一个整数数组，并返回最大和交替子序列的和。

该函数首先初始化 inc 和 dec 两个状态数组，然后使用嵌套循环遍历每个元素，计算其最大和递增和递减序列。

最后，将 inc 和 dec 数组中的最大值相加，并减去重复计算的元素即可得到最终结果。

参考资料

1. Maximum Alternating Subsequence (MAS)