最长交替子数组的长度

交替子数组是指相邻的元素大小不同的数组子序列。

例如，序列 [1, 2, 3, 4, 5] 的交替子数组包括 [1, 2, 1, 2, 1] 和 [5, 4, 5, 4, 5] 等。

最长交替子数组的长度就是给定序列中最长的交替子数组的长度。

解法

我们可以使用动态规划来解决该问题。

设 $dp[i][0]$ 为以第 $i$ 个元素结尾的，最后一个元素是较小值的最长交替子数组的长度；$dp[i][1]$ 为以第 $i$ 个元素结尾的，最后一个元素是较大值的最长交替子数组的长度。

则可以得到状态转移方程：

$$ dp[i][0] = \begin{cases} 1 & i=1 \ dp[i-1][1]+1 & a_i < a_{i-1} \ 1 & a_i \ge a_{i-1} \end{cases} $$

$$ dp[i][1] = \begin{cases} 1 & i=1 \ dp[i-1][0]+1 & a_i > a_{i-1} \ 1 & a_i \le a_{i-1} \end{cases} $$

最终的答案为 $\max(dp[i][0], dp[i][1])$。

代码实现

def longest_alternating_subarray(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[1, 1] for _ in range(n)]
    for i in range(1, n):
        if nums[i] < nums[i-1]:
            dp[i][0] = dp[i-1][1] + 1
        if nums[i] > nums[i-1]:
            dp[i][1] = dp[i-1][0] + 1
    return max(max(dp[i][0], dp[i][1]) for i in range(n))

时间复杂度

该算法使用动态规划，在遍历整个数组的过程中，时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度

该算法使用二维数组来存储状态，空间复杂度为 $O(n)$。可以通过滚动数组的方式将空间复杂度优化到 $O(1)$。