打印最长双调子序列（空间优化方法）

最长双调子序列问题是指在一个序列中找到一个最长的子序列，使得该子序列先递增后递减。这里介绍一种空间优化的方法，只需O(n)的空间，可以快速解决此问题。

算法思路

我们首先考虑最长递增子序列（LIS）问题，这是最长双调子序列问题的一个子问题。最常见的解法是动态规划，定义dp[i]为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度。由于dp[i]只与dp[i-1]有关，因此我们可以将其优化为只使用一个变量，而不使用一个数组。

接下来我们考虑最长递减子序列（LDS）问题，这同样可以使用动态规划来解决。我们定义dp2[i]为以第i个元素为起点的最长递减子序列的长度。类似于LIS问题，为了优化空间，我们可以仅使用一个变量。

然后，我们可以将这两个问题合并。对于每个元素，我们分别计算其作为LIS和LDS的长度。最终答案为这两个值之和减一（因为这个元素被重复计算了一次）。

具体算法流程如下：

1. 初始化LIS和LDS的长度为1。
2. 分别从左到右和从右到左扫描数组，并计算每个元素的LIS和LDS长度。
3. 遍历数组，计算每个元素作为最高点的最长双调子序列长度。
4. 找到长度最大的最长双调子序列。
5. 输出最长双调子序列。

代码实现

下面是使用C++实现的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    vector<int> dp(n, 1), dp2(n, 1);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (a[j] < a[i]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
        for (int j = n - 1; j > i; j--) {
            if (a[j] < a[i]) {
                dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j] + 1);
            }
        }
    }

    int maxlen = 0, maxidx = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int len = dp[i] + dp2[i] - 1;
        if (len > maxlen) {
            maxlen = len;
            maxidx = i;
        }
    }

    vector<int> ans;
    for (int i = maxidx; i >= 0; i--) {
        if (dp2[i] == maxlen - (dp[i] - 1)) {
            ans.push_back(a[i]);
        }
    }
    for (int i = maxidx + 1; i < n; i++) {
        if (dp[i] == maxlen - (dp2[i] - 1)) {
            ans.push_back(a[i]);
        }
    }

    cout << maxlen << endl;
    for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
        cout << ans[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

总结

最长双调子序列是一个很有趣的问题，通过空间优化可以很好地解决此问题。通过本文的介绍，读者应该能够理解此算法的思路并进行实现。